$\begin{cases}x+my=m+1\\y+mx=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y+m(m+1-my)=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y-my^2+m^2+m=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y(m^2-1)=m^2-2m+1\\\end{cases}$
Để HPT có nghiệm duy nhất thì $m^2-1 \neq 0\\\Leftrightarrow m \ne \pm1$
$\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{(m-1)^2}{(m-1)(m+1)}=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-my=\dfrac{(m+1)^2-m^2+m}{m+1}=\dfrac{3m+1}{m+1}\\\end{cases}$
$\Rightarrow xy=\dfrac{(3m+1)(m-1)}{(m+1)^2}$
$=\dfrac{3m^2-2m-1}{(m+1)^2}$
Xét $xy+1$
$=\dfrac{3m^2-2m-1+m^2+2m+1}{(m+1)^2}$
$=\dfrac{4m^2}{(m+1)^2} \ge 0$
$\Rightarrow xy \ge -1$
Dấu "=" xảy ra khi $m=0$
Vậy m=0 thì HPT có nghiệm duy nhất và $min_{xy}=-1$

a) Thay 1 vào m, ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+1y=1+1\\1x-y=3\times1-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1y=2\\x=2+y\end{cases}}\)

Thế giá trị đã cho vào phương trình:\(2+y+1y=2\)

\(\Leftrightarrow2+2y=2\)

\(\Leftrightarrow2y=0\Rightarrow y=0\)

Thay giá trị đó vào phương trình:\(x=2+0\Rightarrow x=2\)

Thay m=2 vào HPT ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-1\right)x-2y=6-1\\2x-y=2+5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\-3y=3\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiemj (x;y) = (3;-11)

nghiệm là (3;-1) nhé

Đáp án B

Hệ pt : \(\begin{cases}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{cases}\)

Xét pt đầu : \(x+my=m+1\Leftrightarrow x=m+1-my\) thay vào pt còn lại :

\(m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\)

\(\Leftrightarrow y\left(1-m^2\right)=-m^2+2m-1\)

Nếu \(m=1\) thì pt có dạng 0.y = 0 => Vô số nghiệm.

Nếu m = -1 thì pt có dạng 0.x = -4 => vô nghiệm.

Xét với \(m\ne1\) và \(m\ne-1\) thì pt có nghiệm \(y=\frac{-\left(m-1\right)^2}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\frac{m-1}{m+1}\)

\(\Rightarrow x=m+1-m\left(\frac{m-1}{m+1}\right)=m+1-\frac{m^2-m}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}\)

Xét \(xy=\frac{\left(m-1\right)\left(3m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\frac{3m^2-2m-1}{\left(m+1\right)^2}\)

Đặt \(t=m+1\) thì \(m=t-1\) thay vào biểu thức trên được

\(\frac{3\left(t-1\right)^2-2\left(t-1\right)-1}{t^2}=\frac{3t^2-8t+4}{t^2}=\frac{4}{t^2}-\frac{8}{t}+3\)

Lại đặt \(a=\frac{1}{t}\) thì : \(4a^2-8a+3=4\left(a-1\right)^2-1\ge-1\)

Suy ra \(xy\ge-1\) . Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy với m = 0 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1

cam on