Ta có: \(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n\times\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Từ điều trên, ta có:  \(A<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\)

\(A<\frac{1}{2}-\frac{1}{2017}\)

\(A<\frac{2015}{4034}<1\)

0<A<1 nên A không phải là số tự nhiên.

(+)Hiển nhiên A>0 vì các số hạng của A đều > 0 (1)

(+)Tổng quát: \(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

Ta có:\(A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}=1-\frac{1}{2016}<1\)  (2)

Từ (1);(2)

=>0<A<1

=>A ko là số tự nhiên

\(A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2015}+3^{2016}\\\)

\(A=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2015}\left(1+3\right)\)

\(A=\left(1+3\right).\left(3+3^3+...+3^{2015}\right)\)

\(A=4.\left(3+3^3+...+3^{2015}\right)\)

Suy ra    : \(A⋮4\)

a) Ta sẽ dùng cách cm gián tiếp:

     Cho A = 14^13 + 14^12 + .... +14 + 1

=> 14A    = 14^14 + 14^13 +...+14^2 +14

=> 14A - A = (14^14 + 14^13 +...+14^2 +14) - (14^13 + 14^12 + .... +14 + 1)

13A = 14^14 - 1

Vì 13A chia hết cho 13 nên 14^14 - 1 chia hết cho 13 (ĐPCM)

b) Tương tự như vậy: 

 Cho B = 2015^2015 + 2015^2014 + .... +2015 + 1

=> 2015B    = 2015^2016 + 2015^2015 +...+2015^2 +2015

=> 2015B - B = (2015^2016 + 2015^2015 +...+2015^2 +2015) - (2015^2015 + 2015^2014 + .... +2015 + 1)

2014B = 2015^2016 - 1

Vì 2014B chia hết cho 2014 nên 2015^2016 - 1 chia hết cho 2014 (ĐPCM)

Bạn học đồng dư rồi đúng ko? ình sẽ giải theo cách đồng dư nhé :

a, 14^14đồng dư 1^14đồng dư 1(mod13) 

Suy ra 14^14 -1 đồng dư 1-1 đồng dư 0 (mod13)   (đpcm)

b, tương tự bạn nhé 2015^2016 đồng dư 1^2016 đồng dư 1 

...........rồi bạn suy ra nhé

Ta có : \(\dfrac{1}{2^2}\)<\(\dfrac{1}{1.2}\); \(\dfrac{1}{3^2}\)<\(\dfrac{1}{2.3}\);.....;\(\dfrac{1}{2016^2}\)<\(\dfrac{1}{2015.2016}\)

⇒ A = \(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{3^2}\)+...+\(\dfrac{1}{2016^2}\)< \(\dfrac{1}{1.2}\)+\(\dfrac{1}{2.3}\)+...+\(\dfrac{1}{2015.2016}\)

⇒ A = \(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{3^2}\)+...+\(\dfrac{1}{2016^2}\) < 1 - \(\dfrac{1}{2016}\)= \(\dfrac{2015}{2016}\) (ĐCPCM)

Vẫn còn anh đợi tí nha

a) Ta có: \(\frac{1}{2^2}>0\)

              \(\frac{1}{3^2}>0\)

               ..................

                 \(\frac{1}{2016}^2>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2016^2}>0\)

Hay \(A>0\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

            \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

              ....................

             \(\frac{1}{2016^2}< \frac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2016}< 1\)

\(\Rightarrow A< 1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow0< A< 1\)

\(\Rightarrow A\)không phải là STN ( đpcm )

b) \(B=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow3B=1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\)

\(\Rightarrow3B-B=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)

\(\Rightarrow2B=1-\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^{99}}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}\)

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2014.2015}+\frac{1}{2015.2016}\)

\(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)

\(A< 1-\frac{1}{2016}\)

\(A< \frac{2015}{2016}\left(đpcm\right)\)

\(A=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+.....+\frac{1}{2016.2016}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.....+\frac{1}{2015.2016}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-.....+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)

\(=1-\frac{1}{2016}\)

\(=\frac{2015}{2016}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2015}{2016}\)

Ta có A= 1/2015 + 2/2016 + 3/2017 + ... +2016/4030- 2016

          A= 2015-2014/2015 + 2016-2014/2016 +...+4030-2014/4030-2016

           A= 2015/2015-2014/2015+ 2016/2016-2014/2016 + ..... +4030/4030-2014/4030 -2016

           A= 1-2014/2015 + 1-2014/2016 +....+1-2014/4030 -2016

           A= (1+1+1+1+........+1) -(2014/2015+2014/2016+......+2014/4030) -2016

            A=2016  -  2014.(1/2015+1/2016+....+1/4030)   -2016

             A= (2016 - 2016 ) - 2014. ( 1/2015+1/2016+.....+1/4030)

             A=-2014.(1/2015+1/2016+....+1/4030)

   mà B = 1/2015+1/2016+....+1/4030

      nên A : B = -2014

các bn hãy ủng hộ mk nhé !!! Thanks everyone!!!