1) Trướt hết mình xin ký hiệu lại: 
a/b tối giản <=> (a;b)=1 tức là ước chung lớn nhất của a, b là 1 
2) Ta sẽ chứng minh: 
Nếu (a;b)=1 thì (b;a-b)=1 (*) 
Bằng phản chứng: giả sử rằng (b;a-b)=k (k>1) khi đó ta có thể viết 
b = k.u (u nguyên) (**) 
a-b = k.v (v nguyên) (***) 
Từ (**)(***) suy ra a = k(u+v) và do đó (a;b) = (k(u+v); ku) = k >1 là trái giả thiết. 
Vậy (*) đã được chứng minh. 
3) a/b tối giản => a/b -1 = (a-b)/b tối giản (theo (*)) 
bằng quy nạp sẽ chứng minh được a/b - n tối giản. (đpcm)

Lời giải:

Vì $\frac{a}{b}$ là phân số chưa tối giản nên $a,b$ còn có thể chia hết cho chung một số lớn hơn $1$.

Gọi số đó là $d$.

Ta có: $a\vdots d; b\vdots d\Rightarrow 2a\vdots a; a-2b\vdots d$

$\Rightarrow \frac{2a}{a-2b}$ là phân số không tối giản. 

Ta có: a/b chưa tối giản.Gọi (a;b)=d (d #1)

=>a chia hết cho d;b chia hết cho d

=>2a chia hết cho d; 2d chia hết cho d

=>2a chia hết cho d; (a-2b) chia hết cho d

=>d thuộc ƯC(2a;a-2b)

Mà d#1

=>(2a;a-2b)#1

=>2a/a-2b chưa tối giản (đpcm)

☺☺☺☺☺☺

Do \(\frac{a}{b}\) là một phân số chưa tối giản nên ta có thể đặt \(\hept{\begin{cases}a=md\\b=nd\end{cases}}\left[d=\left(a;b\right);\left(m;n\right)=1\right]\)

Khi đó ta có:

a) \(\frac{a}{a-b}=\frac{md}{md-nd}=\frac{md}{\left(m-n\right)d}\) chưa là phân số tối giản  (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

b) \(\frac{2a}{a-2b}=\frac{2md}{md-2nd}=\frac{2md}{\left(m-2n\right)d}\) chưa là phân số tối giản   (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

vì đầu bài bảo nó chưa tối giản

\(\frac{a}{b}\) là phân số chưa tối giản

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=k.a_1\\b=k.b_1\end{cases}}\) \(\left[ƯCLN\left(a;b\right)=k;ƯCLN\left(a_1;b_1\right)=1\right]\)

\(\frac{2a}{a-2b}=\frac{2.k.a_1}{k.a_1-2.k.b_1}=\frac{2k.a_1}{k\left(a_1-2.b_1\right)}\) chưa tối giản

=> đpcm