Có 2010^4 đồng dư với 0 ( mod 2008)

=> (2010^4)^502 đồng dư với 0^502 = 0 ( mod 2008)

=> (2010^4)^502. 2010 đồng dư với 0^502. 2010= 0 (mod 2008)

=>2010^2009 chia cho 2008 dư 0

Gọi tổng là S

\(S=1+\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2007}+5^{2008}\right)\)

\(S=1+5.6+5^3.6+....+5^{2007}.6\)

\(S=1+6.\left(5+5^3+...+5^{2007}\right)\)

Vậy S chia 6 dư 1

\(S=\left(1+5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+....+\left(5^{2006}+5^{2007}+5^{2008}\right)\)

\(S=31.1+31.5^3+....+31.5^{2007}\)

\(S=31.\left(1+5^3+....+5^{2007}\right)\)

Vậy S chia hết cho 31 hay S chia 31 dư 0

Tổng có 2008 số hạng. Ta có :

1 + 5 + 5² + ... + 5²⁰⁰⁸

= 1 + 5 + ( 5² + 5³ + 5⁴ ) + ( 5⁶ + 5⁷ + 5⁸ ) + ... + ( 5²⁰⁰⁶ + 5²⁰⁰⁷ + 5²⁰⁰⁸ )

= 1 + 5 + 5²( 1 + 5 + 5² ) + 5⁵( 1 + 5 + 5² ) + ... + 5²⁰⁰⁶( 1 + 5 + 5² )

= 6 + 5² . 31 + 5⁵ . 31 + ... + 5²⁰⁰⁶ . 31

= 6 + 31( 5² + 5⁵ + ... + 5²⁰⁰⁶ ) chia cho 31 dư 6

#ĐinhBa 

Đặt \(A=1+5+5^2+5^3+...+5^{2008}\)

A có 2009 số chia làm 1004 cặp, còn dư số 1

\(\Rightarrow A=1+\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2007}+5^{2008}\right)\)

\(\Rightarrow A=1+5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+...+5^{2007}\left(1+5\right)\)

\(\Rightarrow A=1+5.6+5^3.6+...+5^{2007}.6\)

\(\Rightarrow A=1+6\left(5+5^3+...+5^{2007}\right)\)

Vậy A chia 6 dư 1.