- Gọi các số đó là : \(x_1,x_2.....x_{2021}\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2.x_3>0\\......\\\end{matrix}\right.\)

- Để \(x_1.x_2.x_3>0\) thì \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\x2< 0\\x3< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x1< 0\\x2>0\\x3< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\x2< 0\\x3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\x2>0\\x3>0\end{matrix}\right.\)

CMTT => Trường hợp thỏa mãn là : \(\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\....\\x2021>0\end{matrix}\right.\)

Vậy ....

Phản chứng: gọi các số hữu tỉ là \(a_1;a_2;a_3;a_4...\)

Do tích các số đều dương nên tất cả chúng đều khác 0

Nếu tồn tại 1 số trong đó là số âm, giả sử \(a_1< 0\)

Do \(a_1.\left(a_2.a_3\right)>0\Rightarrow a_2a_3< 0\) (1)

\(\left(a_2a_3\right)a_4>0\) mà \(a_2a_3< 0\Rightarrow a_4< 0\)

\(\Rightarrow a_1a_4>0\)

\(a_1a_2a_4>0\) mà \(a_1a_4>0\Rightarrow a_2>0\) (2)

\(a_1a_3a_4>0\) mà \(a_1a_4>0\Rightarrow a_3>0\) (3)

(2); (3) \(\Rightarrow a_2a_3>0\) mâu thuẫn với (1)

Vậy điều giả sử là sai hay 2021 số đó đều dương

Trong tất cả các số đã cho có ít nhất 1 số nguyên dương vì nếu trái lại tất cả đều la số nguyên âm thì tổng của 13 số bất kì sẽ là số âm trái với giả thiết.

Tách riêng số dương đó còn lại 12 số chia làm 3 nhóm. Theo đầu bài, mỗi nhóm có tổng là 1 số dương nên tổng của 3 nhóm là 1 số nguyên dương.

Trong 25 số đã cho ko thể cs số = 0

Trong 25 số đó cũng ko thể cs quá 2 số nguyên âm

Vậy phải cs ít nhất 23 số nguyên dương, giả sử các số đó là:

a1<a2<a3<a4<...<24<a25. Như vậy a24>0, a25 >0

Mà a1,a24,a25>0 nên a1>0

Từ đó => tất cả 25 số đó đều là số nguyên dương