`P= (x-1)(x^2-x+1)` là một số nguyên tố

`=>` \(\left[{}\begin{matrix}x-1=1\\x^2-x+1=1\end{matrix}\right.\)

`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Xét \(x=0\)

\(\Rightarrow M=1\)không phải số nguyên tố.

Xét \(x>0\) thì ta có:

\(M=x^{1999}+x^{1997}+1=\left(x^{1999}-x\right)+\left(x^{1997}-x^2\right)+x^2+x+1\)

\(=x\left(\left(x^3\right)^{666}-1\right)+\left(\left(x^3\right)^{665}-1\right)+x^2+x+1\)

\(=\left(x^2+x+1\right)A+\left(x^2+x+1\right)B+x^2+x+1\)

\(=\left(x^2+x+1\right)C\)

Vì M là số nguyên tố nên nó có 2 ước là 1 và chính nó. Ta lại thấy \(x^2+x+1>1\)

\(\Rightarrow x^{1999}+x^{1997}+1=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{1999}-x^2\right)+\left(x^{1997}-x\right)=0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^{1999}-x^2\ge0\\x^{1997}-x\ge0\end{cases}}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=1\)

Ta có : M=x1999+x1997+1=x(x1998−1)+x2(x1995−1)+x2+x+1=BS(x2+x+1)x1999+x1997+1=x(x1998−1)+x2(x1995−1)+x2+x+1=BS(x2+x+1)

Do đó , để M là số nguyên tố ⇔M=x2+x+1⇔M=x2+x+1

                                               ⇔x=1

Xét p=2,p=2, ta có: 4p+1=94p+1=9 là số chính phương.
Xét p>2,p>2, vì pp là số nguyên tố nên p=2k+1p=2k+1 (k∈N∗)(k∈N∗)
Ta có: 4p+1=4(2k+1)+1=8k+54p+1=4(2k+1)+1=8k+5
Mặt khác 4p+14p+1 là một số chính phương lẻ nên chia 88 dư 1.1.
Do đó với p>2p>2 thì 4p+14p+1 không là số chính phương.
Vậy số nguyên tố pp để 4p+14p+1 là số chính phương là 2.2. 

Xét p=2 , ta có : 4p + 1 = 9 là số chính phương

Xét p > 2 , vì p là số nguyên tố nên p = 2k + 1 (k thuộc N*)

Ta có : 4p + 1 = 4(2k + 1) +1 = 8k + 5

Mặt khác 4p + 1 là một số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1

Do đó với p > 2 thì 4p + 1 ko là số chính phương 

Vậy số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương là 2

2)Là 97

3)-21

4)30

7)-900

Cảm ơn bạn

Lời giải:
a. Để A là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $x-2, x+4$ có giá trị bằng 1 và số còn lại là số nguyên tố.

Mà $x-2< x+4$ nên $x-2=1$

$\Rightarrow x=3$

Thay vào $A$ thì $A=7$ là snt (thỏa mãn) 

b. Để $A<0\Leftrightarrow (x-2)(x+4)<0$

Điều này xảy ra khi $x-2,x+4$ trái dấu. Mà $x-2< x+4$ nên:

$x-2<0< x+4$

$\Rightarrow -4< x< 2$

$x$ nguyên nên $x=-3,-2,-1,0,1$