Theo đề bài ta có \(\frac{a}{b}< 1\).

\(\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}< 1\)(vì \(\frac{a}{b}< 1\))

Khi \(\frac{a+m}{b+m}< 1\)ta có \(\frac{a}{b}+m\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)

\(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\Rightarrow am< bm\Rightarrow ab+am< ab+bm\Rightarrow a\left(b+m\right)< b\left(a+m\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) 

Ta có: \(\frac{a+m}{b+m}\) = \(\frac{\left(a+m\right).b}{b\left(b+m\right)}\) = \(\frac{ab+bm}{b\left(b+m\right)}\)  và \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{a.\left(b+m\right)}{b\left(b+m\right)}\)= \(\frac{ab+am}{b\left(b+m\right)}\)

 Ta có: \(\frac{a}{b}\) < 1 => a<b => am<bm ( m \(\ne\) 0) => ab+ am< ab+bm

=> \(\frac{ab+bm}{b\left(b+m\right)}\) > \(\frac{ab+am}{b\left(b+m\right)}\) => \(\frac{a+m}{b+m}\) > \(\frac{a}{b}\)

Do \(\frac{a}{b}< 1\)=> a < b

=> a.m < b.m

=> a.m + a.b < b.m + a.b

=> a.(b + m) < b.(a + m)

=> \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)

trong tối nay nha huhu

TH1 : a<b

\(\Rightarrow am< bm\)

\(\Rightarrow ab+am< ab+bm\Rightarrow a\left(b+m\right)< b\left(a+m\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)

TH2 : a=b

\(\Rightarrow am=bm\)

\(\Rightarrow ab+am=ab+bm\Rightarrow a\left(b+m\right)=b\left(a+m\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}\)

TH1 : a>b

\(\Rightarrow am>bm\)

\(\Rightarrow ab+am>ab+bm\Rightarrow a\left(b+m\right)>b\left(a+m\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

Vậy ... ( có 3 trường hợp )

b1 thì dễ rùi, mik ko làm nha.b2:

Ta có x = \(\frac{a}{m}\) = \(\frac{a+a}{2m}\); y = \(\frac{b}{m}\) = \(\frac{b+b}{2m}\)

Vì x<y => a<b => a+a<a+b => \(\frac{a+a}{2m}

 Trường hợp a cũng là nguyên duơng 
Xét a<b và a>b. 
Xét a<b trước, ta có: 
1-a/b=(b-a)/a..............(1) 
1-(a+1)/(b+1)=(b+1-a-1)/(b+1)=(b-a/(b+1... 
Từ (1) và (2) ta thấy: (b-a)/a<(b-a)/(b+1) (vì hai phân số có cùng tử phân số nào mẫu lớn thì phân số đó nhỏ hơn). Mà (b-a)/a>(b-a)/(b+1) =>((a+1)/(b+1)<a/b 

Xét a>b, ta đặt a=b+m=>a+n=b+m+n 
vậy: a/b=(b+m)/b= 1+m/b.....(3) 
(a+n)/(b+n)=(b+m+n)/(b+n)=(b+n+m)/(b+n)... 
So sánh (3) và (4) cho ta a/b<(a+n)/(b+n) 

Nếu a là nguyên âm thì bạn có trừong hợp ngược lại 
Nếu a=0 thì a/b=0 khi đó (a+1)/(b+1)=1/(b+1) >0=a/b 
Tuơng tự khi a=0 thì (a+n)/b+n)=n/(b+n)>a/b

Ta xét 3 trường hợp a/b=1; a/b<1; a/b>1

+ trường hợp a/b= 1 nền a=b thi a+b/b+m= a/b=1.

+ trường hợp a/b<1 nên a<b nen a+b< b+m

     a+m/b+mco "phan bu" toi 1 la b-a/b+m

     a/b có "phần bù" tới 1 là b-a/b, vì b-a/ b+m< b-a/b nên a+m/b+m>a/b

+ trường hợp a/b> 1 nên a>b nên a+m >b+m

     a+m/ b+m co "phan thừa" so với 1  la a-b/ b+m

     a/b có "phần thừa " so với 1 là a-b/m, vì a-b/b+m< a-b/b nên a+m/b+b<a/b

a/b<a+2010/b+2010 nha bạn!

a+m/b+m > a/b

ta xét 3 trường hợp\(\frac{a}{b}\)= 1 ; \(\frac{a}{b}\)< 1 ; \(\frac{a}{b}\)> 1

+ trương hợp \(\frac{a}{b}\)= 1 nên a = b thì \(\frac{a+b}{b+m}\)= \(\frac{a}{b}\)= 1

+ trường hợp \(\frac{a}{b}\)< 1 nên a < b nên a + b < b + m

còn lại tự làm nhé