1: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

1/. Xét Tứ giác AEHF, có:

E = 90 (EH vuong góc AB)

F = 90 (HF vuong AC)

A = 90 (ABC vuong tai A)

=> AEHF là hcn

2/. Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM =1/2BC  => AM =MB = MC = 2,5 cm

=> BC = 2,5 x2 = 5cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, có:

AB^2 +AC^2 =BC^2

9+AC^2 = 25

=> AC^2 = 25-9 = 16

=> AC =4cm

Diện tích tam giác ABC: 1/2AB.AC = 1/2(.3.4 )= 6cm^2

3/. Gọi K là giao điểm của EF và AM, J là giao điểm của EF và AH

CM: góc AEK = góc ABC

Vì J là giao điểm của 2 đường chéo trong hcn AEHF => ẠJ = JH = Ẹ = JF

=> tam giác EJA cân tại J => AEJ = EAH (1)

Xét tam giác vuông ABH => EAH +ABC = 90

Xét tam giác vuông ABC=> ABC + ACB = 90

=> EAH = ACB  và (1) => ACB = AEJ  (2)

Vì  AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM = BM = MC

=> tam giác ABM cân tại M => EAK = ABC (3)

Xét tam giác EAK: có: AEJ + EAK = ACB + ABC  = 90 ( do 2 và 3)

=> tam giác AEK vuong tại K 

Hay AM vuông EF

4/. Vì A đới xứng với I qua BC => AI vuông góc với BC . Mà AH vuong với BC => A. H , I thẳng hàng . hay H là trung điểm của AI

Xét tam giác AID, có: 

H là trung ddierm của AI, M là trung điểm của AD 

=> HM là đường trung bình của tam giác AID => HM // ID

=> tứ giác BIDC là hình thang

Xét tam giác ABI , có: BH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến => ABI cân tại B => IBH = ABH (BH là đường phân giác) (4)

Xét tứ giác ABCD có: 

M là trung điểm BC

M là trung điểm AD

M = BC giao AD

=> ABCD là hình bình hành và A = 90 => ABCD là hình chữ nhật

=> DCB = ABC (DC // AB và solle trong) (5)

Từ 4 và 5 => BCD = IBC (= ABC) => Hình thang BIDC là hình thang cân

1/. Xét Tứ giác AEHF, có:

E = 90 (EH vuong góc AB)

F = 90 (HF vuong AC)

A = 90 (ABC vuong tai A)

=> AEHF là hcn

2/. Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM =1/2BC  => AM =MB = MC = 2,5 cm

=> BC = 2,5 x2 = 5cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, có:

AB^2 +AC^2 =BC^2

9+AC^2 = 25

=> AC^2 = 25-9 = 16

=> AC =4cm

Diện tích tam giác ABC: 1/2AB.AC = 1/2(.3.4 )= 6cm^2

3/. 

1: Xét tứ giác AEHF có góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

2: AM=2,5cm nên BC=5cm

=>AC=4cm

S=3x4/2=6cm²

3: 

Xét tứ giác AEHF có góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: góc AFE=góc AHE=góc ABC

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>góc MAC=góc ACB

=>góc MAC+góc EFA=90 độ

=>AM vuông góc với EF

4: 

Xét ΔADI có

H,M lần lượt là trung điểm của AI và AD

nên HM là đường trung bình

=>HM//DI

=>DI//BC

Xét ΔCIA có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCIA cân tại C

=>CI=CA=DB

=>BIDC là hình thang cân

Gọi O là giao của EF và AH, K là giao AM và EF

Vì \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\) nên AEHF là hcn

Do đó \(OE=OF=OH=OA\)

\(\Rightarrow\Delta AOF\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{AFO}=\widehat{FAO}\left(1\right)\)

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \(AM=BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\Delta AMC\) cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\left(2\right)\)

Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat{MCA}+\widehat{FAO}=90^0\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\widehat{MAC}+\widehat{AFO}=90^0\)

Mà \(\widehat{AFO}+\widehat{MAC}+\widehat{AKF}=180^0\Rightarrow\widehat{AKF}=90^0\)

Vậy AM vuông góc EF

bạn nào biết trả lời nhanh nha. mình đang cần gấp . cảm ơn

  

A. Ta có \(\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}\Rightarrow AC=\frac{5}{3}AH\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(AB^2=BC^2-AC^2=\frac{AB^2AC^2}{AH^2}-AC^2\Rightarrow15^2=\frac{15^2.\frac{25}{9}AH^2}{AH^2}-AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=400\Rightarrow AC=20\left(cm\right)\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HB=\frac{AB^2}{BC}=9\left(cm\right);HC=BC-BH=25-9=16\left(cm\right)\)

b.Vì E;F là hình chiếu của H lên AB;AC \(\Rightarrow\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{A}=90^0\Rightarrow AEHF\)là hình chữ nhật

c. Gỉa sử \(AM⊥EF\)\(\Rightarrow\)ta phải chứng minh M là trung điểm BC

Gọi I là giao điểm của EF và AH ;   N là giao của EF và AM

Xét tam giác AIN và tam giác AHM 

có \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\widehat{N}=\widehat{H}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta AIN~\Delta AHM\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{AIN}=\widehat{AMH}\left(1\right)}\)

Xét tam giác AEF và tam giác ACB có \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=90^0chung\\\widehat{C}=\widehat{E}\left(+\widehat{B}=90^0\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AEF~\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{B}\left(2\right)}\)

Vì AEHF là hình chữ nhật nên \(\widehat{IFA}=\widehat{IAF}\left(3\right)\)

Lại có \(\widehat{AIF}=180^0-2.\widehat{IFA}\)

Từ (1) ;(2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{AMB}=180^0-2.\widehat{B}\Rightarrow\Delta AMB\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\)

Tương tự chứng minh được \(MA=MC\)\(\Rightarrow M\)là trung điểm BC

Vậy trung tuyến AM vuông góc với EF

d. Gỉa sử tam giác ABC vuông cân \(\Leftrightarrow AB=AC\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AB^2\left(4\right)\)

\(\Delta ABC\)vuông cân \(\Leftrightarrow AE=AF\Rightarrow S_{AEHF}=AE.AF=AE^2=\frac{1}{4}AB^2\Rightarrow2S_{AEHF}=\frac{1}{2}AB^2\left(5\right)\)

Từ (4) và (5) ta có \(S_{ABC}=2S_{AEHF}\)đúng với giả thiết ban đầu 

Vậy giả sử \(S_{ABC}=2S_{AEHF}\)thì tam giác ABC vuông cân