a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)

Theo bài ra, ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì (a-b)² chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

                                Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

gọi p/s là a/b ( a ; b ) = 1

ta có : a/b . 2/3 = 2a/3b thuộc N (1)

a/b . 4/5 = 4a/5b thuộc N (2)

a/b . 6/7 = 6a/7b thuộc N (3)

từ (1) => 2 : hết cho b ( 2a : hết cho 3b mà (2;3) = 1 => 2a : hết cho b mà (a;b)=1 => 2 : hết cho b)

(2) => 4 : hết cho b ( 4a : hét cho 5b mà ( 4;5)=1 => 4a : hết cho b mà (a;b) = 1 => 4 : hết cho b )

(3) => 6 : hết cho b ( 6a : hết cho 7b mà ( 6;7)=1 => 6a : hết cho b mà (a;b) = 1 => 6 : hết cho b)

từ (1) => a : hết cho 3 ( 2a : hết cho 3 và ( 2 ;3)= 1)

(2) => a : hết cho 5 ( 4a : hết cho 5 và ( 4;5) = 1)

(3) => a : hết cho 7 ( 6a : hêts cho 7 và ( 6;7)=1)

để a/b nhỏ nhất thì a thuộc BCNN( 3 ; 5 ;7) = 105 , b thuộc ƯCLN( 2 ; 4 ;6 )= 12

=> a/b = 105/12

gọi p/s là a/b ﴾ a ; b ﴿ = 1

ta có : a/b . 2/3 = 2a/3b thuộc N ﴾1﴿

a/b . 4/5 = 4a/5b thuộc N ﴾2﴿

a/b . 6/7 = 6a/7b thuộc N ﴾3﴿

từ ﴾1﴿ => 2 : hết cho b ﴾ 2a : hết cho 3b mà ﴾2;3﴿ = 1 => 2a : hết cho b mà ﴾a;b﴿=1 => 2 : hết cho

b﴿ ﴾2﴿ => 4 : hết cho b ﴾ 4a : hét cho 5b mà ﴾ 4;5﴿=1 => 4a : hết cho b mà ﴾a;b﴿ = 1 => 4 : hết cho

b ﴿ ﴾3﴿ => 6 : hết cho b ﴾ 6a : hết cho 7b mà ﴾ 6;7﴿=1 => 6a : hết cho b mà ﴾a;b﴿ = 1 => 6 : hết cho

b﴿ từ ﴾1﴿ => a : hết cho 3 ﴾ 2a : hết cho 3 và ﴾ 2 ;3﴿= 1﴿

﴾2﴿ => a : hết cho 5 ﴾ 4a : hết cho 5 và ﴾ 4;5﴿ = 1﴿

﴾3﴿ => a : hết cho 7 ﴾ 6a : hết cho 7 và ﴾ 6;7﴿=1﴿

để a/b nhỏ nhất thì a thuộc BCNN﴾ 3 ; 5 ;7﴿ = 105 , b thuộc ƯCLN﴾ 2 ; 4 ;6 ﴿= 12

=> a/b = 105/12 

Tổng nghịch đảo có dạng: \(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{56}+\dfrac{1}{72}\)\(+\dfrac{1}{90}+\dfrac{1}{110}\) \(=\dfrac{1}{5.6}\)\(+\dfrac{1}{6.7}+...+\dfrac{1}{10.11}\)\(=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}\)\(=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{11}=\dfrac{6}{55}\)

tổng nghịch đảo có dạng: \(\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}=\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{10.11}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}=\frac{1}{5}-\frac{1}{11}=\frac{6}{55}\)

Trả lời:

gọi phân số cần tìm là a/b (a,b khác 0)

=> số nghịch đão của phân số này là b/a

Giả sử a>=b, đặt a=b+k (k>=0)

Ta có:  \(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{b}{a}\)= \(\frac{b+k}{b}\)+\(\frac{b}{b+k}\)= 1+ \(\frac{k}{b}\)+\(\frac{b}{b+k}\)\(\ge\)1+ \(\frac{k}{b+k}\)+\(\frac{b}{b+k}\)=1+ \(\frac{b+k}{b+k}\)=2 

Ta thấy dấu bằng xảy ra khi k=0 => a=b => phân số cần tìm là a/b=1

Đáp số: phân số cần tìm là có tử số =mẫu số (a=b>0)

và Giá trị nhỏ nhất của phân số này với phân số nghịch đảo của nó=2