Đặt S = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + (n - 1).2^{n - 1} + n.2ⁿ 

<=> S = 2S - S = (2.2³ + 3.2⁴ +  4.2⁵ + .... + (n - 1).2ⁿ + n. 2^{n + 1}) - (2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + (n - 1).2^{n - 1} + n.2ⁿ)

                S = (2.2³ - 3.2³) + (3.2⁴ - 4.2⁴) + (4.2⁵ - 5.2⁵) + .... + [(n - 1).2ⁿ - n.2ⁿ] + n.2^{n + 1} - 2.2²

                   = -(2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2ⁿ) + n.2^{n + 1} - 8

Đặt A = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2ⁿ

  <=> 2A - A = (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2^{n + 1}) - (2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2ⁿ) 

  <=> A = 2^{n + 1} - 2³ 

Khi đó S = - 2^{n - 1} + 2³ + n.2^{n - 1} - 8

              = 2^{n - 1}.(n - 1) = 2^{n + 34}

         => n - 1 = 2^{n + 34} : 2^{n - 1}

          => n - 1 = 2^{n + 34 - n + 1}

          => n - 1 = 2³⁵

          => n = 2³⁵ + 1

N=34359738369 nha

\(A=2.2^2+3.2^3+...+n.2^n\)

\(2A=2.2^3+3.2^4+4.2^5+...+n.2^{n+1}\)

\(2A-A=\left(2.2^3+3.2^4+...+n.2^{n+1}\right)-\left(2.2^2+3.2^3+...+n.2^n\right)\)

\(A=-2.2^2-2^3-2^4-...-2^n+n.2^{n+1}\)

\(A=-2^2-\left(2^2+2^3+2^4+...+2^n\right)+n.2^{n+1}\)

\(A=-2^2-\left(2^{n+1}-2^2\right)+n.2^{n+1}\)

\(A=\left(n-1\right)2^{n+1}=\left(2n-2\right).2^n\)

Từ đây phương trình ban đầu tương đương với: 

\(\left(2n-2\right).2^n=2^{n+34}\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-2\right).2^n=2^n.2^{34}\)

\(\Leftrightarrow n-1=2^{33}\)

\(\Leftrightarrow n=2^{33}+1\)

A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ 

2.A = 2.2³ + 3.2⁴ + 4.2⁵ + ...+ n.2ⁿ⁺¹

=> A - 2.A = 2.2² + (3.2³ - 2.2³)  + (4.2⁴ - 3.2⁴) + ...+ (n - n + 1).2ⁿ - n.2ⁿ⁺¹

=> A = 2.2² + 2³ + 2⁴ + ..+ 2ⁿ - n.2^{n+ 1}  = 2² + (2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1}) - (n+1).2ⁿ⁺¹

=> A =  - 2² -  (2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1}) + (n+1).2ⁿ⁺¹

Tính B = 2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1} => 2.B =  2³ + ....+ 2^{n+ 1} + 2ⁿ⁺² => 2B - B = 2ⁿ⁺² - 2² => B = 2ⁿ⁺² - 2²

Vậy A = 2² - 2ⁿ⁺² + 2² + (n+1).2ⁿ⁺¹ = (n+1).2ⁿ⁺¹ - 2^{n+ 2} = 2ⁿ⁺¹.(n + 1 - 2) = (n-1).2ⁿ⁺¹ = 2(n-1).2ⁿ

Theo bài cho  A = 2(n-1).2ⁿ = 2ⁿ⁺¹⁰ => 2(n - 1) = 2¹⁰ => n - 1 = 2⁹  = 512 => n = 513

Vậy.............

n= 513, tui chỉ biết đáp án nhưng không biết cách làm