Chứng minh rằng nếu: thì (x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2giúp em với...
Đọc tiếp
Chứng minh rằng nếu: thì (x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2
giúp em với ạ!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HG
1
C
0
15 tháng 5 2021
đặt x/a=y/b=z/c=k
=>x=a.k,
y=b.k
z=c.k
=>(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2)(a^2+b^2+c^2)=k^2.(a^2+b^2+c^2)^2(1)
(ax+by+cz)^2=(a.a.k+b.b.k+c.c.k)^2=(a^2.k+b^2.k+c^2.k)^2
=k^2(a^2+b^2+c^2)(2)
từ (1)(2)=> nếu x/a=y/b=z/c thì (x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2
=>
10 tháng 11 2021
\(ax+by+cz\\ =x\left(x^2-yz\right)+y\left(y^2-xz\right)+z\left(z^2-xy\right)\\ =x^3+y^3+z^3-3xyz\\ =\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\\ =\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)\\ =\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
Lại có \(a+b+c=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\)
Vậy ta được đpcm
AA
0
7 tháng 1 2018
\(a,\dfrac{2x+2y}{a^2+2ab+b^2}.\dfrac{ax-ay+bx-by}{2x^2-2y^2}\)
\(=\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{a\left(x-y\right)+b\left(x-y\right)}{2\left(x^2-y^2\right)}\)
\(=\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{\left(x-y\right)\left(a+b\right)}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)
\(=\dfrac{1}{a+b}\)
\(b,\dfrac{a+b-c}{a^2+2ab+b^2-c^2}.\dfrac{a^2+2ab+b^2+ac+bc}{a^2-b^2}\)
\(=\dfrac{a+b-c}{\left(a+b\right)^2-c^2}.\dfrac{\left(a+b\right)^2+c\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{a+b-c}{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}.\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{1}{a-b}\)
\(c,\dfrac{x^3+1}{x^2+2x+1}.\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+2}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}.\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)}\) \(=\dfrac{x-1}{2}\) \(d,\dfrac{x^8-1}{x+1}.\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)}\) \(=\dfrac{\left(x^4\right)^2-1}{x+1}.\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)}\) \(=\dfrac{\left(x^4-1\right)\left(x^4+1\right)}{x+1}.\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)}\) \(=\dfrac{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}{x+1}.\dfrac{1}{x^2+1}\) \(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}\) \(=x-1\) \(e,\dfrac{x-y}{xy+y^2}-\dfrac{3x+y}{x^2-xy}.\dfrac{y-x}{x+y}\) \(=\dfrac{x-y}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{3x+y}{x\left(x-y\right)}.\dfrac{-\left(x-y\right)}{x+y}\) \(=\dfrac{x-y}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{3x+y}{x}.\dfrac{-1}{x+y}\) \(=\dfrac{x-y}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{-3x-y}{x\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{x\left(x-y\right)+y\left(3x+y\right)}{xy\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{x^2-xy+3xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{x+y}{xy}\)19 tháng 2 2018
tìm giá trị của m để pt 2x-m=1-x nhận giá trị x=-2 là nghiệm
giải hộ e với :)
NT
2
T
25 tháng 8 2023
Có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\) (do \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2=1\))
Ta có:\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=x^2a^2+x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2b^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2+z^2c^2\)
Và \(\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2+2xayb+2ybzc+2zcxa\)
Như vậy ta cần chứng minh \(x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2\)\(=2xayb+2ybzc+2zcxa\)
Hay \(x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2\)\(-2xayb-2ybzc-2zcxa=0\)(*)
Từ điều kiện \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\), ta có: \(\hept{\begin{cases}xb=ya\\yc=zb\\za=xc\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xb-ya=0\\yc-zb=0\\za-xc=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(xb-ya\right)^2=0\\\left(yc-zb\right)^2=0\\\left(za-xc\right)^2=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2b^2-2xbya+y^2a^2=0\\y^2c^2-2yczb+z^2b^2=0\\z^2a^2-2zaxc+x^2c^2=0\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế, ta được
\(x^2b^2+y^2a^2+y^2c^2+z^2b^2+z^2a^2+x^2c^2-2xbya-2yczb-2zaxc=0\)
Và từ đó (*) luôn đúng \(\Rightarrowđpcm\)
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức