ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-1\end{matrix}\right.\)

- Với \(x< -1\Rightarrow x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}< 0\) pt vô nghiệm

- Xét với \(x>1\):

Bình phương 2 vế của pt đã cho:

\(x^2+\dfrac{x^2}{x^2-1}+\dfrac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1225}{144}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2-1}+\dfrac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}-\dfrac{1225}{144}=0\)

Đặt \(\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2+2t-\dfrac{1225}{144}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{25}{12}\\t=-\dfrac{49}{12}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{25}{12}\)

Tới đây có thể bình phương 2 vế hoặc đặt \(\sqrt{x^2-1}=a\Rightarrow x^2=a^2+1\) đưa về pt bậc 2:

\(\dfrac{a^2+1}{a}=\dfrac{25}{12}\Leftrightarrow a^2-\dfrac{25}{12}a+1=0\) \(\Rightarrow a=...\Rightarrow x=...\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(3m-3\right)\)

\(=\left(2m-4\right)^2-4\left(3m-3\right)\)

\(=4m^2-16m+16-12m+12\)

\(=4m^2-28m+28\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(4m^2-28m+28>=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2\cdot2m\cdot7+49-21>=0\)

=>\(\left(2m-7\right)^2>=21\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m-7>=\sqrt{21}\\2m-7< =-\sqrt{21}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>=\dfrac{7+\sqrt{21}}{2}\\m< =\dfrac{7-\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=6\)

=>\(\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=36\)

=>\(x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

=>\(\left(-2m+4\right)^2-2\left(3m-3\right)-2\left|3m-3\right|=36\)

=>\(4m^2-16m+16-6m+6-6\left|m-1\right|=36\)

=>\(4m^2-22m+22-36=6\left|m-1\right|\)

=>\(6\left|m-1\right|=4m^2-22m-14\)(1)

TH1: m>=1

(1) tương đương với \(4m^2-22m-14=6\left(m-1\right)\)

=>\(4m^2-22m-14-6m+6=0\)

=>\(4m^2-28m-8=0\)

=>\(m^2-7m-2=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{7+\sqrt{57}}{2}\left(nhận\right)\\m=\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: m<1

(1) tương đương với: \(4m^2-22m-14=6\left(1-m\right)\)

=>\(4m^2-22m-14=6-6m\)

=>\(4m^2-16m-20=0\)

=>m^2-4m-5=0

=>(m-5)(m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-5=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

a, Dễ quá bỏ qua .

b, Ta có : \(x^2-2\left(m+1\right)x+4m=0\)

=> \(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m+1\right)^2-4m=m^2+2m+1-4m\)

=> \(\Delta^,=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm .

- Theo vi ét có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=\frac{c}{a}=4m\end{matrix}\right.\)

- Để \(\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)=3m^2+12\)

<=> \(x_1x_2+3x_1+3x_2+9=3m^2+12\)

<=> \(x_1x_2+3\left(x_1+x_2\right)+9=3m^2+12\)

<=> \(4m+6\left(m+1\right)+9=3m^2+12\)

<=> \(3m^2-10m-3=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=\frac{5-\sqrt{34}}{3}\\m=\frac{5+\sqrt{34}}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy ........

\(x^4-4x^3-5x^2-3x^2+12x+15=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-4x-5\right)-3\left(x^2-4x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3\right)\left(x^2-4x-5\right)=0\)

\(x^4-4x^3-8x^2+12x+15=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3-5x^3-5x^2-3x^2-3x+15x+15=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x+1\right)-5x^2\left(x+1\right)-3x\left(x+1\right)+15\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3-5x^2-3x+15\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[x^2\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-5\right)\left(x^2-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x-5=0\\x^2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=5\\x=\pm\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Trước tiên để PT có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta'=m^2-(m^2-2m+1)>0\Leftrightarrow 2m-1>0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(*)\)

Theo định lý Vi-et, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-2m+1=(m-1)^2\end{matrix}\right.\)

Để 2 nghiệm là nghiệm dương thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m>0\\ x_1x_2=(m-1)^2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> 0\\ m\neq 1\end{matrix}\right.(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow m> \frac{1}{2}; m\neq 1\) là điều kiện để pt có 2 nghiệm dương phân biệt.