a.

Xét hai tam giác vuông ABE và ADH:

\(AD=AB\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAH}\) (cùng phụ \(\widehat{DAE}\))

\(\Rightarrow\Delta_vABE=\Delta_vADH\) (góc nhọn-cạnh góc vuông) (1)

\(\Rightarrow AH=AE\)

\(\Rightarrow\Delta AHE\) vuông cân tại A

b. Cũng từ (1) ta có \(BE=DH\)

Xét hai tam giác vuông ABE và FDA có:

\(\widehat{BAE}=\widehat{AFD}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\Delta_vABE\sim\Delta_vFDA\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{BE}{AD}\Rightarrow AB.AD=BE.DF\Rightarrow AB^2=HD.DF\) (do AD=AB và BE=HD)

c. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AH.AF\\S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AD.HF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AH.AF=AD.HF\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{HF}{AH.AF}\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{HF^2}{AH^2.AF^2}=\dfrac{AH^2+AF^2}{AH^2.AF^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (do AH=AE theo chứng minh câu a)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{a^2}\) cố định (đpcm)

a, Ta có: BAE + DAE = BAD  => BAE + DAE = 90^o   

và IAD + DAE = IAE  => IAD + DAE = 90^o 

=> BAE = IAD

Xét △ABE vuông tại B và △ADI vuông tại D

Có: AB = AD (ABCD là hình vuông)

      BAE = DAI (cmt)

=> △ABE = △ADI (cgv-gnk)

=> AE = AI (2 cạnh tương ứng)

=> △AEI cân tại A

Mà IAE = 90^o

=> △AEI vuông cân tại A

=> AEI = 45^o

b, Xét △ABE có: AB² + BE² = AE² (định lý Pytago)

Vì AB // CD (ABCD là hình vuông) => \(\frac{AE}{EF}=\frac{BE}{EC}\)(định lý Thales)  \(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{AB}\) (BC = AB <= ABCD là hình vuông )\(\Rightarrow AF=\frac{AE.AB}{BE}\) 

Ta có: \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{\left(\frac{AE.AB}{BE}\right)^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{BE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{AB^2}{AE^2.AB^2}+\frac{BE^2}{AE^2.AB^2}\)

\(=\frac{AB^2+BE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{AE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{1}{AB^2}\) (đpcm)

c, Xét △ABE vuông tại B có: AE > AB (quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông) => AE² > AB²  \(\Rightarrow\frac{1}{2}.AE^2>\frac{1}{2}.AB^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.AE.AI>\frac{1}{2}.a^2\)\(\Rightarrow S_{\text{△}AEI}>\frac{1}{2}a^2\)