\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{98.99.100}\)

= \(\frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{98.99.100}\right)\)

= \(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{98.99}-\frac{1}{99.100}\right)\)

= \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{99.100}\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9900}\right)=\frac{1}{2}.\frac{4949}{9900}=\frac{4949}{19800}\left(\text{đpcm}\right)\)

\(VT=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{98.99.100}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{98.99.100}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{98.99}-\frac{1}{99.100}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{99.100}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9900}\right)=\frac{1}{2}.\frac{4949}{9900}=\frac{4949}{19800}=VP\) (đpcm)

Nhận xét: \(\left(n+1\right)\sqrt{n}=\sqrt{\left(n+1\right)^2n}=\sqrt{\left(n+1\right)n\left(n+1\right)};n\sqrt{n+1}=\sqrt{n^2\left(n+1\right)}=\sqrt{n.n\left(n+1\right)}\)

=> \(\left(n+1\right)\sqrt{n}>n\sqrt{n+1}\) => \(2.\left(n+1\right)\sqrt{n}>\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}\)

=> \(\frac{2}{2.\left(n+1\right)\sqrt{n}}

Ta có:

\(\frac{1}{\left(n-1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)

Ta thấy các phân số của tổng S khi quy đồng mẫu số chứa lũy thừa của 2 với số mũ lớn nhất là 2⁴

Như vậy, khi quy đồng mẫu số, các phân số của S đều có tử chẵn, chỉ có phân số \(\frac{1}{16}\) có tử lẻ

Do đó S có tử lẻ mẫu chẵn, không là số tự nhiên (đpcm)

help me every body! Thanks

sai đề bài

Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé!