a: \(\text{Δ}=\left(m-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)=\left(m+1\right)^2>=0\)

=>(5) luôn có nghiệm

b: \(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-\left(x_1\cdot x_2\right)^2=2m+1\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-\left(x_1\cdot x_2\right)^2=2m+1\)

=>\(\left(m-1\right)^2-4\cdot\left(-m\right)-\left(-m\right)^2=2m+1\)

=>\(m^2-2m+1+4m-m^2=2m+1\)

=>2m+1=2m+1(luôn đúng)

a) Xét \(\Delta\) = b² - 4ac = (-m)² - 4(2m - 4)

= m² - 8m + 16 = ( m - 4 )²

Ta có: ( m - 4 )² \(\ge\) 0

=> Pt luôn có nghiệm

b) Vì phương trình luôn có nghiệm nên áp dụng định lí Ta- lét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}==m\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)
Xét phương trình: x₁² + x₂² - 9

= x₁² + x₂² + 2x₁x₂ - 2x₁x₂ - 9

= (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ - 9

= (-m)² - 2(2m - 4) - 9

= m² - 4m + 8 - 9

= m² - 4m - 1 = m² - 4m + 4 - 5

= (m - 2)² - 5

Xét (m - 2)² \(\ge\) 0

=> (m - 2)² - 5 \(\ge\) -5

Dấu " =" xảy ra khi m - 2 = 0

<=> m = 2

\(\Delta=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\ge0\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm

Khi đó theo Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2-9=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-9\)

\(A=m^2-2\left(2m-4\right)-9\)

\(A=m^2-4m-1\)

\(A=\left(m-2\right)^2-5\ge-5\)

\(\Rightarrow A_{min}=-5\) khi \(m=-2\)

a) đenta phẩy=m^2-m^2+1>0

=>.........................

Bảo Ngọc tính nghiệm bị sai!

a) Ta xét : 

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+2m=m^2-2m+4=\left(m-1\right)^2+3\ge3>0\)

Vì \(\Delta'>0\)nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Dễ thấy : x₁<x₂ nên ta có : 

\(x_1=\frac{2\left(m-2\right)-\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}}{2}=m-2-\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\) ; \(x_2=\frac{2\left(m-2\right)+\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}}{2}=m-2+\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\)

\(x_2-x_1=x_1^2\Leftrightarrow2\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}=\left(m-2-\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)^2+3-2\left(m-2\right)\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}=2\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\)

\(\Leftrightarrow m=2\)

Vậy m = 2

a. Δ' = b'² - ac = (m-1)² - (-2m-3) = m² - 2m + 1 + 2m + 3

= m² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ m ∈ R

Vậy pt đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt với mọi m thuộc R

b. Áp dụng Viet, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-2m-3\end{matrix}\right.\)

Theo đề ta có \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)

⇔ \(16x_1x_2+20x_1+20x_2+25+19=0\)

⇔ \(16x_1x_2+20\left(x_1+x_2\right)+44=0\)

⇔ \(16\left(-2m-3\right)+20\left[-2\left(m-1\right)\right]+44=0\)

⇔ \(-32m-48-40m+40+44=0\)

⇔ \(-72m+36=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy với m = \(\frac{1}{2}\)thì pt đã cho có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)

Ta có x₁x₂ = -1

=> x₁ = -\(\frac{1}{x_2}\)

=> x₁ - x₂ = x₁ + \(\frac{1}{x_1}\)

x₁ > 0 thì

x₁ + \(\frac{1}{x_1}\) >= 2\(\sqrt{x_1\frac{1}{x_1}}\)= 2

x₁ < 0 thì

x₁ + \(\frac{1}{x_1}\) <= -2\(\sqrt{x_1\frac{1}{x_1}}\)= -2

Vậy: |x₁-x₂| >= 2

Trước khi làm hình như phải cm pt có nghiệm?

( a = 1, b = -m, c = -1)

\(\Delta=b^2-4ac\)

   \(=\left(-m\right)^2-4.1.\left(-1\right)\)

    \(=m^2+4>0\forall m\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Bạn ghi ko đúng đề, thứ nhất pt này chỉ có 1 vế (thiếu)

Thứ 2 nếu pt này là \(x^2+2\left(m+1\right)x-2m=0\) thì cũng ko có nghiệm với mọi m (chứ ko phải x)

Ví dụ với \(m=-1\) pt thành: \(x^2+2=0\) (vô nghiệm)

Do đó đề sai