n⁶ - n⁴ + 2n³ + 2n²
= n² . (n⁴ - n² + 2n +2)
= n² . [n²(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]
= n² . [(n + 1)(n³ - n² + 2)]
= n² . (n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]
= n². (n + 1)² . (n² - 2n + 2)
Với n ∈ N, n > 1 thì n² - 2n + 2 = (n - 1)² + 1 > (n - 1)²
Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²
Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n²
=> n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

\(=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=\)

\(=n^2\left[n^2\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)

\(=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)

\(=n^2\left[\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\right]=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-n+1\right)-n^2\left(n+1\right)^2\left(n-1\right)=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left[\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\right]=\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) Giả sử đây là số chính phương

\(\Rightarrow n^2-2n+2\) Phải là số chính phương

Ta có

\(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\Rightarrow n^2-2n+2>\left(n-1\right)^2\) (1)

Ta có

\(n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\) Với n>1

\(\Rightarrow n^2-2n+2< n^2\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)

Mà \(\left(n-1\right)^2\) và \(n^2\) là hai số chính phương liên tiếp nên \(n^2-2n+2\) không phải là số chính phương

=> Biểu thức đề bài đã cho không phải là số chính phương

Ta có : \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)

\(=\left(n^6+2n^3+1\right)-\left(n^4-2n^2+1\right)\)

\(=\left(n^3+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2\)

\(=\left(n^3+1-n^2+1\right)\left(n^3+1+n^2-1\right)\)

\(=n^2\left(n^3-n^2+2\right)\left(n+1\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

Ta thấy \(n^2\left(n+1\right)^2\) là số chính phương (1) \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\)ko phải là số chính phương (2)

Từ (1);(2) => \(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) ko phải là số chính phương (đpcm)

\(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)

\(=\left(n^6-n^4\right)+\left(2n^3+2n^2\right)=n^4\left(n^2-1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(=n^4\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(=\left(n^5-n^4\right)\left(n+1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(=\left(n^5-n^4+2n^2\right)\left(n+1\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\)

\(=n^2\left(n+1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-n+1-n+1\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

Với mọi \(n\inℕ\)và \(n\ge1\), ta có:

\(n^2\left(n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)\right]^2\)luôn là số chính phương.

Mà \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\)luôn không là số chính phương ( vì n>1; \(n\inℕ\))

Do đó  \(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+1\right)\)không phải là số chính phương với mọi \(n>1,n\inℕ\)

\(\Rightarrow n^6-n^4+2n^3+2n^2\)không phải là số chính phương với mọi \(n>1,n\inℕ\)

Vậy nếu \(n\inℕ,n>1\)thì số có dạng \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)không phải là số chính phương

TÍNH CHẤT : Nếu tích của các số là một số chính phương thì mỗi số đều là một số chính phương.