4a² + b² - 4a + 2b + \(\dfrac{5}{2}\) > 0

\(\Leftrightarrow\left(4a^2-4a+1\right)+\left(b^2+2b+1\right)+\dfrac{1}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\)

Vì \(\left(2a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\)

\(\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2\\ =\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\\ =\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\\ =-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)

Tổng 2 cạnh tam giác > cạnh thứ 3 nên cả 4 thừa số trên đều dương.

=> đpcm

Bạn xem lại đề. Với $a=1,b=2$ PT vô nghiệm.

\(4a^2b^2+4ab+1=\left(2ab\right)^2+2.2ab.1+1^2=\left(2ab+1\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)

a. Ta có: a > b

4a > 4b ( nhân cả 2 vế cho 4)

4a - 3 > 4b - 3 (cộng cả 2 vế cho -3)

b. Ta có: a > b

-2a < -2b ( nhân cả 2 vế cho -2)

1 - 2a < 1 - 2b (cộng cả 2 vế cho 1)

d. Ta có: a < b 

-2a > -2b ( nhân cả 2 vế cho -2)

5 - 2a > 5 - 2b (cộng cả 2 vế cho 5)

Cảm ưn 😆😊🥰🤩😽🙊🙈🙉

\(1.CMR:\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\ge2+2=4\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b\)

\(2.\\ a.CMR:a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc\ge0\forall a,b,c\)

\(a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=a^2-2ab+b^2+c^2-2bc+b^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c\)

\(b.CMR:a^2+b^2-4a+6b+13\ge0\forall a,b\)

\(a^2+b^2-4a+6b+13=\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2+6b+9\right)=\left(a-2\right)^2+\left(b+9\right)^2\ge0\forall a,b\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-9\end{matrix}\right.\)