Giả sử tồn tại ..

Ta có   (-1)^x+199y luôn = 1 hoặc -1 là số lẻ => 6+  (-1)^x+199y lẻ mà 2006 chẵn => (x+199y)(x-199y) chẵn => x+199y hoặc x-199y chia hết cho 2(1)

Lại có x+199y+x-199y=2x chẵn kết hợp (1) => x+199y và x-199y đều chia hết cho 2 => (-1) ^ x+199y =1 => 6+  (-1) ^ x+199y =7 

mà 2006 không chia hết cho 7 =>2006 o chia hết 6+  (-1) ^ x+199y (vô lý) 

Vậy giả sử sai nên o tồn tại

\(n^2+2n-x^2-x=0.\)
\(\Delta'_n=1+x^2+x\ne k^2\left(k\in Z\right)\Rightarrow dpcm\)

Ta có : 

\(x\left(x+1\right)=n\left(n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=n^2+2n\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=n^2+2n+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(n+1\right)^2\)

Vì n là số nguyên cho trước thì \(\left(n+1\right)^2\) là một số chính phương 

\(x>0\), Ta có : \(x^2+x+1>x^2\)

                             \(x^2+x+1< x^2+x+1+x=x^2+2x+1\)

                                                                                            \(=\left(x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2< x^2+x+1< \left(x+1\right)^2\)

Hay \(x^2< \left(n+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\)

=> Vô lí do không thể có số chính phương nào tồn tại giữa hai số chính phương liên tiếp 

Vậy không thể tồn tại số nguyên dương x 

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 5\) nên không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)

Rõ ràng cặp (x;y) =(t;0) với t \(\inℤ\)là một nghiệm của phương trình

Xét trường hợp y\(\ne\)0, khi đó ta viết được phương trình dưới dạng 

\(2y^2+\left(x^2-3x\right)y+\left(3x^2+x\right)=0\)(1)

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn y. Biệt thức \(\Delta\)của nó bằng

\(\left(x^2-3x\right)^2-8\left(3x^2+x\right)=\left(x^2-8x\right)\left(x+1\right)^2\)

Đến đây phương trình (1) có nghiệm y nguyên điều kiện cần là \(\Delta\)phải là số thích phương. Từ đây ta có các TH sau
TH1: x=-1 thay vào (1) ta tính được y=-1

TH2: x\(\ne\)-1, x²-8x=a²(a\(\in\)N) Lúc này ta có: (x-4)²-a²=16 hay [|x-4|-a][|x-4|+a]=16

Dễ dàng tìm được x=0 (tương ứng ới y=0, loại), x=8 (tương ứng với y=-10) và x=9 (tương ứng y=-6 hoặc y=-21)

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: S={(t;0);(8;-10);(9;-6);(-1;-1)} (t\(\in\)Z)