Cho tứ giác lồi ABCD có M,N là trung điểm của AB và CD. Chứng mình MN \(\le\frac{BC+AD}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 7 2018
Nối đường chéo BD của tứ giác ABCD. Lấy I là trung điểm của đoạn BD, nối IM và IN.
Xét \(\Delta\)BAD: I là trung điểm BD; M là trung điểm AD => IM là đường trung bình của tam giác BAD
=> IM = 1/2 AB. Tương tự ta có: IN = 1/2 CD \(\Rightarrow IM+IN=\frac{AB+CD}{2}\)
Mà \(IM+IN\ge MN\)(T/c 3 điểm) \(\Rightarrow\frac{AB+CD}{2}\ge MN\)
Vậy \(MN\le\frac{AB+CD}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> I thuộc đoạn MN <=> MN // AB // CD (Do IM // AB và IN // CD) <=> Tứ giác ABCD là hình thang.
KN
1
T
17 tháng 9 2019
Bài này thì mình không chắc ở cái "Đẳng thức xảy ra khi..." đâu nhé!
Nối B và D. Gọi I là trung điểm BD. Có ngay MI = 1/2 AB và MI // AB; NI = 1/2 CD và NI // CD
Do đó \(MI+NI=\frac{AB+CD}{2}\)(1). Mặt khác theo quy tắc 3 điểm thì \(MI+NI\ge MN\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(I\in MN\Rightarrow MN\text{//}AB;DC\Rightarrow\)Tứ giác ABCD là hình thang
29 tháng 7 2021
Ta có : Tứ giác MPNQ là hình bình hành
MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
Ta có : Tứ giác EPFQ là hình bình hành
EF đi qua I
Vậy EF , MN và PQ đồng quy
xét trường hợp tứ giác lồi ABCD không phải là hình thang
nối BD , gọi I là trung điểm của BD
xét tam giác ABD ta được
M là trung điểm AB (GT)
I là trung điểm của BD ( như cách gọi)
=> MI là đường trung bình của tam giác ABD
=> MI // AD ; MI = 1/2 AD (1)
xét tam giác DBC ta có
I là trung điểm của BD ( như cách gọi)
N là trung điểm của CD ( GT)
=> NI là đường trung bình của tam giác DBC
=> NI //BC ; NI = 1/2BC (2)
cộng theo vế của (1) và (2) ta được
NI + MI = 1/2 (AD + BC) hay \(MI+NI=\frac{BC+AD}{2}\)(3)
vì ABCD không phải là hình thang nên I không thuộc MN hay 3 điểm I,M,N không thẳng hàng. Ta được tam giác MIN.
áp dụng định lí bất đẳng thức tm giác vào tm giác MIN ta có
MN < MI + NI (4)
kết hợp (3) và (4) ta được
\(MN<\frac{BC+AD}{2}\)(5)
* Xét trường hợp ABCD là hình thang ( AD // BC)
ta có
M là trung điểm AB,
N là trung điểm CD
=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD
=> \(MN=\frac{BC+AD}{2}\) (6)
kết hợp (5) và (6) ta được
\(MN\le\frac{BC+AD}{2}\)
an cut