Đặt A = 75 (4¹⁹⁹⁹ + 4¹⁹⁹⁸ + .... + 4² + 4 + 1) + 25

Đặt B = 4¹⁹⁹⁹ + 4¹⁹⁹⁸ + .... + 4² + 4 + 1

=> 4B = 4²⁰⁰⁰ + 4¹⁹⁹⁹ + 4¹⁹⁹⁸ + .... + 4² + 4 

=> 4B - B = 4²⁰⁰⁰ + 4¹⁹⁹⁹ + 4¹⁹⁹⁸ + .... + 4² + 4  - 4¹⁹⁹⁹ - 4¹⁹⁹⁸ - .... -4² - 4 - 1

=> 3B = 4²⁰⁰⁰ - 1

=> B = \(\frac{4^{2000}-1}{3}\)

Thay vào A có :

A = 75 . \(\frac{4^{2000}-1}{3}\)+ 25

   = 25 . 3 . \(\frac{4^{2000}-1}{3}\)+ 25 

   = 25( 4²⁰⁰⁰ - 1 + 1)

   = 25 . 4²⁰⁰⁰

Mà 25\(⋮\)25 ; 4²⁰⁰⁰ \(⋮\)4 => A \(⋮\) 25.4 =100

đặt \(S=1+4+4^2+......+4^{1999}\)

\(\Rightarrow4S=4+4^2+4^3+....+4^{2000}\)

\(\Rightarrow4S-S=\left(4+4^2+4^3+....+4^{2000}\right)-\left(1+4+4^2+.....+4^{1999}\right)\)

\(\Rightarrow3S=4^{2000}-1\Rightarrow S=\frac{4^{2000}-1}{3}\)

Khi đó \(A=75.S=75.\frac{4^{2000}-1}{3}=\frac{75.\left(4^{2000}-1\right)}{3}=\frac{75}{3}.\left(4^{2000}-1\right)=25.\left(4^{2000}-1\right)=25.4^{2000}-25\)

Ta có: 4²⁰⁰⁰-1=(4⁴)⁵⁰⁰-1=(...6)-1=....5

=>25.4²⁰⁰⁰-25=25.(....5)-25=(...5)-25=....0 chia hết cho 100

Vậy ta có điều phải chứng minh
 

75 chia hết cho 25.

4²⁰⁰⁷ + ... + 4 + 1 chia 4 dư 1 hay không chia hết cho 4

=> 75(4²⁰⁰⁷ + ... + 4 + 1) không chia hết cho 100.

Đặt \(B=1+4+4^2+...+4^{1998}+4^{1999}\)

\(\Rightarrow4B=4+4^2+4^3+...+4^{1999}+4^{2000}\)

\(\Rightarrow4B-B=\left(4+4^2+4^3+...+4^{2000}\right)-\left(1+4+4^2+...+4^{1999}\right)\)

\(\Rightarrow3B=4^{2000}-1\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{4^{2000}-1}{3}\)

Khi đó ta có:

\(A=75.B=75.\dfrac{4^{2000}-1}{3}=\dfrac{75.\left(4^{2000}-1\right)}{3}=\dfrac{75}{3}.\left(4^{2000}-1\right)=25.\left(4^{2000}-1\right)=25.4^{2000}-25\)

Ta có: \(4^{2000}-1=\left(4^4\right)^{500}-1=\left(...6\right)-1=...5\)

\(\Rightarrow25.4^{2000}-25=25.\left(...5\right)-25=\left(...5\right)-25=...0⋮100\left(đpcm\right)\)

Ta có:

\(A=75.\left(4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1\right)+25\)

\(A=25.3.\left(4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1\right)+25\) \(A=25.\left(4-1\right).\left(4^{1999}+4^{1998}+...+4^2+4+1\right)+25\)

\(A=25.\left(4^{2000}+4^{1999}+...+4^3+4^2+4-4^{1999}-4^{1998}-...-4^2-4-1\right)+25\)\(A=25.\left(4^{2000}-1\right)+25\)

\(A=25.\left(4^{2000}-1+1\right)\)

\(A=25.4^{2000}=25.4.4^{1999}=100.4^{1999}\)Vây:A là số chia hết cho 100

Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn nhé.

Lời giải:

\(A=\frac{2-1}{1.2}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{1998-1997}{1997.1998}\\ =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{1997}-\frac{1}{1998}\\ =(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{1997})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{1998})\\ =(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{1997}+\frac{1}{1998})-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{1998})\\ =(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{1997}+\frac{1}{1998})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{999})\\ =\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}+...+\frac{1}{1998}\)

\(2998B=\frac{1000+1998}{1000.1998}+\frac{1001+1997}{1001.1997}+...+\frac{1998+1000}{1998.1000}\\ =\frac{1}{1998}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{1997}+\frac{1}{1001}+....+\frac{1}{1000}+\frac{1}{1998}\\ =(\frac{1}{1998}+\frac{1}{1997}+...+\frac{1}{1000})+(\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}+...+\frac{1}{1998})\\ =2(\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}+...+\frac{1}{1998})\\ \Rightarrow B=\frac{1}{1499}(\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}+....+\frac{1}{1998})=\frac{1}{1499}A\)

$\Rightarrow A:B=1499$ là số nguyên.

1) A = 1997¹⁹⁹⁹ - 1997¹⁹⁹⁸

=> A = 1997¹⁹⁹⁸.(1997-1)

=> A = 1997¹⁹⁹⁸ . 1996

Vậy a chia hết cho 4 (vì 1996 chia hết cho 4)

2) B = 1997¹⁹⁹⁸ - 1998¹⁹⁹⁹ 

Mà 1997¹⁹⁹⁸ là số lẻ; 1998¹⁹⁹⁹

=> 1997¹⁹⁹⁸ - 1998¹⁹⁹⁹  là số lẻ

Vậy đề bài sai.

ta có A=75(4^2013+4^2012+...+4^2+4+1)+25

          =75(4^2013+4^2012+...+4^2+4)+75+25

            =75[4(4^2012+...+4^2+4+1)

             =300(4^2012+...+4^2+4+1)+100

=100[3(4^2012+...+4^2+4+1)+1] CHIA HẾT CHO 100(Đ.P.C.M)