Ta có: \(\frac{a}{b}\)luôn bé hơn \(\frac{a+n}{b+n}\)nếu a < b (a ; b ; thuộc Z ; n thuộc N*)

Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số trên, ta có:

\(A< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.\left(...\right).\frac{100}{101}\)

=>\(A^2< \frac{1.2.3.\left(...\right).100}{2.3.4.\left(...\right).101}=\frac{1}{101}\)(nhân cả 2 vế cho A)

Quy tắc:\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)

=>\(A^2< \frac{1}{101}< \frac{1}{100}=\frac{1^2}{10^2}=\left(\frac{1}{10}\right)^2\)

=>\(A< \frac{1}{10}\)                                (1)

Giữ nguyên \(\frac{1}{2}\), bớt đi ở tử và mẫu của các phân số còn lại, ta có:

\(A>\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\left(...\right).\frac{98}{99}\)

=>\(A^2>\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\left(...\right)\frac{99}{100}\)(nhân cả 2 vế cho A)

=>\(A^2>\frac{1}{2}.\frac{1.2.3.\left(...\right).99}{2.3.4.\left(...\right).100}=\frac{1}{2}.\frac{1}{100}=\frac{1}{200}\)

Mà\(\left(\frac{1}{15}\right)^2=\frac{1}{225}< \frac{1}{200}< A^2\)

=>\(\frac{1}{15}< A\)                            (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{15}< A< \frac{1}{10}\)(đpcm)

\(A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{99}{100}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{100}{101}\)

\(\Rightarrow A^2< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{100}{101}.\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{99}{100}\)

\(\Rightarrow A^2< \frac{1}{101}< \frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{10}\)

\(A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{99}{100}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}...\frac{98}{99}\)

\(\Rightarrow A^2>\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}...\frac{98}{99}.\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{99}{100}\)

\(\Rightarrow A^2>\frac{1}{200}>\frac{1}{225}=\frac{1}{15^2}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{15}\)