1: AB/AC=5/7

=>HB/HC=(AB/AC)^2=25/49

=>HB/25=HC/49=k

=>HB=25k; HC=49k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

=>1225k^2=15^2=225

=>k^2=9/49

=>k=3/7

=>HB=75/7cm; HC=21(cm)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \to\dfrac{1}{23,04}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \to\dfrac{1}{23,04}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}AB^2}\\ \to\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{4}{3AB^2}=\dfrac{1}{23,04}\\ \to\dfrac{7}{3AB^2}=\dfrac{1}{23,04}\\ \to AB^2=53,76\\ \to AB=\dfrac{8\sqrt{21}}{5}\left(cm\right)\\ \to AC=\dfrac{32\sqrt{21}}{15}\left(cm\right)\\ \to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\dfrac{8\sqrt{21}}{3}\left(cm\right)\)

Hệ thức lượng:

\(HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{24\sqrt{21}}{25}\left(cm\right)\\ HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{7168-200\sqrt{21}}{75}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=9\cdot25=225\\AC^2=16\cdot25=400\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=15\left(cm\right)\\AC=20\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}\simeq37^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}=53^0\)

3: 

\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

HB=12^2/20=7,2cm

=>HC=20-7,2=12,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot12\cdot16}{12+16}\cdot cos45=\dfrac{48\sqrt{2}}{7}\)

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\dfrac{48}{35}\left(cm\right)\)

Theo gt: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow HB=\dfrac{HC}{3}\left(1\right)\)

Ta có: \(AH^2=BH.CH\left(2\right)\) (định lí 2)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(AH^2=\dfrac{HC}{3}.HC=\dfrac{HC^2}{3}\)

mà AH = 12cm

\(\Rightarrow12^2=\dfrac{HC^2}{3}\Leftrightarrow HC^2=12^2.3=432\Leftrightarrow HC=12\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Thay HC = \(12\sqrt{3}\) vào (1) ta được:

\(HB=\dfrac{HC}{3}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Mặt khác BC = HB + HC = \(4\sqrt{3}+12\sqrt{3}=16\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow4HB=HC\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(AH^2=BH.HC\)( hệ thức lượng trong tam vuông)

\(\Rightarrow14^2=HB.4HB\Rightarrow HB=7\left(cm\right)\Rightarrow HC=4HB=28\left(cm\right)\Rightarrow BC=HB+HC=35\left(cm\right)\)Xem tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB.BC\\AC^2=HC.BC\end{matrix}\right.\)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=7.35\\AC^2=28.35\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=7\sqrt{5}\\AC=14\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(P_{ABC}=AB+AC+BC=7\sqrt{5}+14\sqrt{5}+35=35+21\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow HC=4HB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow4\cdot HB^2=14^2=196\)

\(\Leftrightarrow HB^2=49\)

\(\Leftrightarrow HB=7\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HC=28\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=7\cdot35=245\\AC^2=28\cdot35=980\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=7\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=14\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=21\sqrt{5}+35\left(cm\right)\)

HC=6^2/9=4cm

làm rõ các bước cho tớ nhé cảm ơn nha