a) Ta có: \(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)=16-4\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=16-8m+12=-8m+28\)

Để phương trình có hai nghiệm x1;x2 phân biệt thì \(-8m+28>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-28\)

hay \(m< \dfrac{7}{2}\)

Với \(m< \dfrac{7}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2

nên Áp dụng hệ thức Viet, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-4\right)}{1}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{2m-3}{1}=2m-3\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\4+2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\2m=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{2}\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Khi \(m=-\dfrac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn tổng 2 nghiệm và tích hai nghiệm là hai số đối nhau

\(x^2+\left(4m+1\right)x+2\left(m-4\right)=0\)

\(\Delta=\left(4m+1\right)^2-4\cdot1\cdot2\left(m-4\right)=16m^2+8m+1-8m+32=16m^2+33\ge33>0\forall m\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(4m+1\right)+\sqrt{16m^2+33}}{2}\\x_2=\dfrac{-\left(4m+1\right)-\sqrt{16m^2+33}}{2}\end{matrix}\right.\) 

Mà: \(x_2-x_1=17\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(4m+1\right)-\sqrt{16m^2+33}}{2}-\dfrac{-\left(4m+1\right)+\sqrt{16m^2+33}}{2}=17\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(4m+1\right)-\sqrt{16m^2+33}+\left(4m+1\right)-\sqrt{16m^2+33}}{2}=17\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2\sqrt{16m^2+33}}{2}=17\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{16m^2+33}=-17< 0\)

Vậy không có m thỏa mãn 

a: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m+2<0

hay m<-2

\(x^2-2\left(2m+1\right)x+4m^2+4m=0\)

Để pt có hai ng pb\(\Leftrightarrow\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow4>0\left(lđ\right)\)

\(\Rightarrow\)Pt luôn có hai ng pb với mọi m

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2\left(2m+1\right)+\sqrt{4}}{2}=2m+2\\x_2=\dfrac{2\left(2m+1\right)-\sqrt{4}}{2}=2m\end{matrix}\right.\)

Có \(\left|x_1-x_2\right|=x_1+x_2\)

\(\Leftrightarrow\left|2m+2-2m\right|=2m+2+2m\)

\(\Leftrightarrow2=4m+2\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

Vậy...

Tham khảo 

Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0 

\(\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(m+2\right)=m^2+6m+9-4m-8=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2\)

Để pt có 2 nghiệm pb khi \(m+1\ne0\Leftrightarrow m\ne-1\)

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\left(1\right)\\x_1x_2=m+2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)Lại có \(x_1-x_2=-1\)(3) 

Từ (1) ; (3) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\\x_1-x_2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=m+2\\x_2=m+3-x_1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+2}{2}\\x_2=\dfrac{2m+6-m-2}{2}=\dfrac{m+4}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay vào (2) ta được 

\(\dfrac{\left(m+2\right)\left(m+4\right)}{4}=m+2\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m+4\right)-4\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)m=0\Leftrightarrow m=0\left(tm\right);m=-2\left(ktm\right)\)

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-2\right)=9>0;\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-2x_1\right)=9\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-4x_1x_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-6\left(m^2+m-4\right)=9\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2m-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)

a, x 2 − 2 ( m + 1 ) x + m 2 + m − 1 = 0 (1)

Với m = 0, phương trình (1) trở thành:

  x 2 − 2 x − 1 = 0 Δ ' = 2  ;  x 1 , 2 = 1 ± 2

Vậy với m = 2 thì nghiệm của phương trình (1) là  x 1 , 2 = 1 ± 2

b) Δ ' = m + 2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ⇔ m > − 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  x 1 + x 2 = 2 ( m + 1 ) x 1 x 2 = m 2 + m − 1

Do đó:

     1 x 1 + 1 x 2 = 4 ⇔ x 1 + x 2 x 1 x 2 = 4 ⇔ 2 ( m + 1 ) m 2 + m − 1 = 4 ⇔ m 2 + m − 1 ≠ 0 m + 1 = 2 ( m 2 + m − 1 ) ⇔ m 2 + m − 1 ≠ 0 2 m 2 + m − 3 = 0 ⇔ m = 1 m = − 3 2

Kết hợp với điều kiện  ⇒ m ∈ 1 ; − 3 2  là các giá trị cần tìm.