vì (a-1)² ≥ 0 nên a² +1 ≥ 2a  ∀mọi x    (1)

vì (b-1)² ≥ 0 nên b² +1 ≥ 2b ∀ mọi x      (2)

từ 1 và 2 ⇒ a²+b² ≥ 2a+2b

               ⇒ A≥ 2(a+b)=2

dấu''=' xảy ra khi a=b=1/2

Xét Q^2=(a^2+b^2)^2/(a-b)^2.Đặt a^2+b^2=x thì (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=x-4.Do a>b nên x-4>0.

A^2=x^2/x-4=(x^2-16)/x-4+16/(x-4)=x+4+16/x-4=x-4+16/(x-4)+8>=8+8=16(dùng Cô-si cho 2 số)

suy ra A>=4.

Dấu =xảy ra khi x-4=16(x-4)>>>x-4=4>>>x=8>>>a-b=2 và a+b=2 căn 3 >>>tìm ra a và b

Xét Q^2=(a^2+b^2)^2/(a-b)^2.Đặt a^2+b^2=x thì (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=x-4.Do a>b nên x-4>0.
A^2=x^2/x-4=(x^2-16)/x-4+16/(x-4)=x+4+16/x-4=x-4+16/(x-4)+8>=8+8=16(dùng Cô-si cho 2 số)
suy ra A>=4.
Dấu =xảy ra khi x-4=16(x-4)>>>x-4=4>>>x=8>>>a-b=2 và a+b=2 căn 3 >>>tìm ra a và b

k cho mk nha $_$

Ta có: \(a^2+b^2=4\left(gt\right)\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)

\(\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)

Mà \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

Vậy GTLN của \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\sqrt{2}-1\)khi \(a=b=\sqrt{2}\)

Ta có a²+b²=4

<=> (a+b)²=4+2ab

<=> (a+b)²-4=2ab

<=> (a+b-2)(a+b+2)=2ab

<=> \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)}{2}=ab\)

Ta có \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho 2 số a/2 và b/2 ta có

\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4\left(doa^2+b^2=4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\)

Do đó \(M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Vậy Max M = \(\sqrt{2}-1\)

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)

\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)

\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)

\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)

\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)

\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$a^2+4\geq 2\sqrt{4a^2}=|4a|\geq 4a$

$b^2+4\geq |4b|\geq 4b$

$2(a^2+b^2)\geq 4|ab|\geq 4ab$

Cộng theo vế và thu gọn:

$3(a^2+b^2)+8\geq 4(a+b+ab)=32$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 8$

Vậy $a^2+b^2$ min bằng $8$. Giá trị này đạt tại $a=b=2$

Áp dụng BĐT cosi:
`a^2+4>=4a`
`b^2+4>=4b`
`=>a^2+b^2+8>=4(a+b)(1)`
Áp dụng cosi:
`a^2+b^2>=2ab`
`=>2(a^2+b^2)>=4ab(2)`
Cộng từng vế (1)(2) ta có:
`3(a^2+b^2)+8>=4(a+b+ab)=32`
`<=>3(a^2+b^2)>=24`
`<=>(a^2+b^2)>=8`
Dấu "=" `<=>a=b=2`

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:

P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a

Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0

Vậy giá trị lớn nhất của P là:

P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:

P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).