a.

n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)

= n² + 5n - n² - 2n + 3n + 6

= (n² - n²) + (5n - 2n + 3n) + 6

= 6n + 6

= 6(n + 1)

Vậy n(n + 5) - (n - 3)(n + 2) chia hết cho 6.

b.

(n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5)

= n² + n - n - 1 - n² + 5n + 7n - 35

= (n² - n²) + (n - n + 5n + 7n) - (1 + 35)

= 12n - 36

= 12(n - 3)

Vậy (n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5) chia hết cho 12.

a) n(n+5) - (n - 3)(n + 2) = n² + 5n - n² + 3n - 2n - 6

                                       =  6n - 6 = 6(n - 1) chia hết cho 6

b) (n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5) = n² - 1 - n² + 7n + 5n - 35

    = 12n - 36 = 12(n - 3) chia hết cho 12

b: 9^2n có chữ số tận cùng là 1

=>9^2n+14 có chữ số tận cùng là 5

=>9^2n+14 chia hết cho 5

c: n(n^2+1)(n^2+4)

=n(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)+10n^3

Vì n;n-2;n-1;n+1;n+2 là 5 số liên tiếp

nên n(n-2)(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 5

=>n(n^2+1)(n^2+4) chia hết cho 5

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

a) Ta có (n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5) 

= n² - 1 - (n² - 12n + 35)

= n² - 1 - n² + 12n - 35

= 12n - 36 = 12(n - 3) \(⋮12\forall n\inℤ\)

b) Ta có n(2n - 3) - 2n(n + 2) 

= 2n² - 3n - 2n² - 2n 

= - 5n \(⋮5\forall n\inℤ\)

CMR : a)n(n^2+12)+(2_ngày)(n^2_3n+1)(n^2_3n+1)+8 chia hết cho 5 với mọi n thuộc Z

b)n^5_n chia hết cho 30

Ta có: 30=5.6, mà (5;6)=1 nên ta chứng minh n⁵-n chia hết cho 5 và 6

+) n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²-4+5)=n(n-1)(n+1)(n²-4)+5n(n-1)(n+1)

                                                                                  =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

   Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5

        5n(n-1)(n+1) chia hết cho 5

    => n⁵-n chia hết cho 5              (1)

+) n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+1)

                                                =(n-1)n(n+1)(n²+1)

Vì (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

=> (n-1)n(n+1)(n²+1) chai hết cho 6

=> n⁵-n chia hết cho 6                       (2)

  Từ (1) và (2) => n⁵-n chia hết cho 30

               Vậy n⁵-n chia hết cho 30   (đpcm)       

1. Xét n=1
VT = 1² = 1
VP = \(\dfrac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}=\dfrac{1.\left(4.1-1\right)}{3}=1\)
=> VT = VP
=> Mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n = k , mệnh đề đúng hay: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2=\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)}{3}\)+) Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng, tức là: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right).\left(4.\left(k+1\right)^2-1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(1\right)\)
+) Thật vậy, với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{k.\left(4.k^2-1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\\ =\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)+3.\left(2k+1\right)^2}{3}=\dfrac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(2\right)\)+) Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh

2. +) Xét n = 1
\(< =>4^1+15.1-1=18⋮9\)
=> với n=1 , mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n=k , mệnh đề đúng, tức là: \(4^k+15k-1⋮9\)
+) Ta phải chứng minh với n = k + 1 mệnh đề cũng đúng, tức là: \(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1⋮9\)
Thật vậy: với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=4.4^k+15k+15-1\\ =4.4^k+4.15k-4-3.15k+18=4.\left(4^k+15k-1\right)-\left(45k-18\right)⋮9\)=> Điều phải chứng minh.

\(9^{2n}+14\)

9²ⁿ = 81ⁿ có chữ số tận cùng là 1

14 có chữ số tận cùng là 4

=> \(9^{2n}+14\) có chữ số tận cùng là 5 

=> \(9^{2n}+14\) chia hết cho 5 (đpcm)