Có nhiều cách để làm bài này nhé!

Áp dụng bất đẳng thức $x^2+y^2\geq 2xy$ nên ta có $x^2+y^2+xy \geq 3xy$
Mà $x^2+y^2+xy=x^2y^2 \geq 0$ nên suy ra $x^2y^2+3xy\leq 0 \iff -3\leq xy \leq 0$
Vì $x,y$ nguyên nên $xy$ nguyên, vậy nên $xy \in \left \{ -3,-2,-1,0\right \}$
Trường hợp $xy=-3 $ ta tìm được các nghiệm $(-1,3),(3,-1),(-3,1),(1,-3)$
Trường hợp $xy=-2$ ta tìm được các nghiệm $(-1,2),(2,-1),(1,-2),(-2,1)$
Trường hợp $xy=-1$ ta tìm được các nghiệm $(-1,1),(1,-1)$
Trường hợp $xy=0$ ta tìm được nghiệm $(0,0)$
Thử lại thì thấy chỉ có các nghiệm $(0,0),(1,-1),(-1,1)$ thỏa mãn và đó là các nghiệm nguyên cần tìm

PT ban đầu tương đương
$x^2(y^2-1)-yx-y^2=0$
Xét $\Delta = 4y^4-3y^2$
=> $\sqrt{\Delta} = y\sqrt{4y^2-3}$
Nếu y=0 thì x=0
Xét TH y khác 0
Pt nhận nghiệm nguyên nên $sqrt{\Delta}$ nguyên
mà y nguyên rồi nên $4y^2-3$ phải là số chính phương
Đặt $4y^2-3=k^2$
Tới đây suy ra được y=1 hoặc y=-1
Thay vào pt ban đầu tìm được x tương ứng.
Vậy pt có 3 nghiệm (x;y)=(0;0);(-1;1);(1;-1)

    \(x^3-y^3-2y^2-3y-1=0\)

\(<=>x^3=y^3+2y^2+3y+1\)≤\(y^3+3y^2+3y+1=(y+1)^3\)(vì \(y^2\)≥0) (1)

Ta có:\(x^3=y^3+2y^2+3y+1>y^3-3y^2+3y-1\)\(=(y-1)^3\) (2)

Từ (1) và (2) 

\(=>(y-1)^3< y^3+2y^2+3y+1=x^3 =<(y+1)^3\)

\(=>y^3+2y^2+3y+1=y^3,(y+1)^3\)

Xong giải ra thôi

Rất xin lỗi bạn vì đến năm 2021 bn ms nhận được câu trả lời

\(\Leftrightarrow3^x=y\left(y+2\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3^a\\y+2=3^b\end{matrix}\right.\) với \(b>a\) và \(a+b=x\)

\(\Rightarrow3^b-3^a=2\Rightarrow3^a\left(3^{b-a}-1\right)=2\)

Nếu \(a>0\Rightarrow3^a\left(3^{b-a}-1\right)>3>2\) (ktm)

\(\Rightarrow a=0\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x^2y^2-2x\left(y+2\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2-2xy+4=4x\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)^2+3=4x\)

Mà \(\left(xy-1\right)^2+3>0\)

Nên 4x>0

x>0

Ta có:

\(x^2y^2-2x\left(y+2\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+4=2x\left(y+2\right)\)

Mà \(x^2y^2+4>0\forall x,y\)

Nên \(2x\left(y+2\right)>0\)

Mặt khác x>0

nên y+2>0

=> y>-2 (1)

Áp dụng bđt Cosi ta có:

\(x^2y^2+4\ge4xy\)

Mà \(\Leftrightarrow x^2y^2+4=2x\left(y+2\right)\)

Nên \(2x\left(y+2\right)\ge4xy\)

\(\Rightarrow y+2\ge2y\)

\(\Leftrightarrow y\le2\) (2)

Do y \(\in Z\) và ta đã có (1), (2)

Nên \(y\in\left\{-1;0;1;2\right\}\)

Th1: y = -1

\(\Rightarrow x^2-2x\left(-1+2\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+3=0\left(vl\right)\)

Th2: y = 0

\(\Rightarrow x^2-2x\left(0+2\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)

\(\Rightarrow x=2\) (nhận)

Th3: y = 1

\(\Rightarrow x^2-2x\left(1+2\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=5\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{5}+3\\x=-\sqrt{5}+3\end{matrix}\right.\)

Loại do x \(\in Z\)

Th4: y = 2

\(\Rightarrow x^2-2x\left(2+2\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{12}+3\\x=-\sqrt{12}+3\end{matrix}\right.\)

Loại do x \(\in Z\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{2;0\right\}\)

4 Th sai cả rồi

do mình thế ngu

ra y \(\in\left\{-1;0;1;2\right\}\) thì bạn thế vô tính x nhé