Vì AM và AN là 2 tiếp tuyến của đường tròn tâm O 

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AM\perp OM\\AN\perp ON\end{matrix}\right.\)  => \(\left\{{}\begin{matrix}GócAMO=90\\GócANO=90\end{matrix}\right.\)

Xét từ giác AMON có :

AMO + ANO = 90 + 90 = 180 

Mà 2 góc này ở vị try đối diện nhau 

=> Tứ giác AMON nội tiếp < đpcm>

a: góc AMO+góc ANO=90+90=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xet ΔAMB và ΔACM có

góc AMB=góc ACM

góc MAB chung

=>ΔAMB đồng dạng với ΔACM

=>AM^2=AB*AC=AM*AN

c: AB*AC=AM^2=AO^2-R^2

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: ΔOBC cân tại O có OI là trung tuyến

nên OI vuông góc BC

Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

mà OM=ON

nên OA là trung trực của MN

=>OA vuông góc MN tại H

Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có

góc HAK chung

=>ΔAHK đồng dạng vớiΔAIO

=>AH/AI=AK/AO

=>AH*AO=AK*AI=AB*AC

a, Vì AM; AN lần lượt là tiếp tuyến đường tròn (O) với M;N là tiếp điểm 

=> ^AMO = ^ANO = 90⁰

mà AM = AN (tc tiếp tuyến cắt nhau) ; OM = ON = R 

Vậy OA là đường trung trực đoạn MN => OA vuông MN 

Xét tứ giác AMON có 

^AMO + ^ANO = 180⁰

mà 2 góc này đối Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM có 

^A _ chung ; ^AMB = ^ACB ( cùng chắn cung BM ) 

Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g)

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\Rightarrow AM^2=AB.AC\)

c, Xét tam giác OMA vuông tại M, đường cao MH 

Ta có \(AM^2=AH.AO\)( hệ thức lượng ) 

=> \(AB.AC=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\)

Xét tam giác ABH và tam giác AOC có 

^A _ chung 

\(\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\left(cmt\right)\)

Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c) 

=> ^ABH = ^AOC ( góc ngoài đỉnh B )

Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn 

d, Ta có BHOC nt 1 đường tròn (cmc) 

=> ^OHC = ^OBC (góc nt chắc cung CO) 

=> ^AHB = ^ACO (góc ngoài đỉnh H) 

mà ^OCB = ^OBC do OB = OC = R nên tam giác OBC cân tại O

=> ^OHC = ^AHB 

mà ^CHN = 90⁰ - ^OHC 

^NHB = 90⁰ - ^AHB 

=> ^CHN = ^NHB 

=> HN là phân giác của ^BHC 

a, Ta có AM ; AN lần lượt là tiếp tuyến (O) 

=> ^AMO = ^ANO = 90⁰

Xét tứ giác AMON có ^AMO + ^ANO = 180⁰ 

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM ta có 

^A _ chung ; ^AMB = ^ACM ( cùng chắn BM ) 

Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g) 

c, Ta có AM = AN ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

ON = OM = R => OA là đường trung trực đoạn MN 

Xét tam giác AMO vuông tại M, đường cao MH 

=> AM^2 = AH.AO 

=> AB . AC = AH . AO => AB/AO = AH/AC 

Xét tam giác ABH và tam giác AOC có

^A _ chung ; AB/AO = AH/AC (cmt) 

Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c) 

=> ^ABH = ^AOC ( mà ^ABH là góc ngoài đỉnh B ) 

Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn 

a. Dễ thấy AMON nội tiếp vì \(\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o\)

b. Do H là trung điểm BC nên \(OH⊥HA\), vậy H, M, A, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

Ta có \(\widehat{NHA}=\widehat{NMA}=\widehat{MNA}=\widehat{MHA}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung và AM = AN)

Vậy HA là phân giác góc MHN.

c. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác HMAN có: \(\widehat{HNM}=\widehat{HAM}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung HM)

Mà \(\widehat{HAM}=\widehat{HBE}\)(Đồng vị)

Vậy nên \(\widehat{HNE}=\widehat{HBE}\) hay HNBE nội tiếp.

Suy ra \(\widehat{ENB}=\widehat{EHB}\) (Cùng chắn cung EB)

Mà \(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\) (Cùng chắn  cung MB) nên  \(\widehat{EHB}=\widehat{MCB}\)

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HE // CM.