Gọi E là hình chiếu của A trên BC

      F là hình chiếu của B trên AC 

      K là giao điểm của AE với MN 

      L là giao điểm của OM với AB

CM được MN//AB do có 2 trung điểm 

Ta có AE vuông góc với BC và OM vuông góc với BC suy ra AE//OM 

tương tự ON//BF

tứ giác AKML có AL//KM(MN//AB),AK//LM(AE//OM)

suy ra AKML là HBH suy ra LMK=LAK hay OMN=HAB

tương tự được ONM=HBA

suy ra tam giác OMN đồng dạng với tam giác HAB (g.g)

suy ra OM/AH=MN/AB 

 Mà MN/AB=1/2 do MN là đường trung bình của tam giác ABC 

OM/AH=1/2

AH=2OM

ta có G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến 

suy ra GM/GA=/1/2 

OM//AE suy ra OMG=HAG

xét tam giác OMG và tam giác HAG có 

GM/GA=OM/AH=1/2

OMG=HAG

suy ra tam giác OMG đồng dạng với tam giác HAG (c.g.c)

khó quá bạn có thể hỏi bạn Gemini vì bạn ý học lớp 12 rùi

a/

O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có

\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BE\perp AB\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)

=> BE//CH (1)

Ta có

\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow CE\perp AC\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)

=> CE//BH (2)

Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME

Xét tg AHE có

MH=ME (cmt)

OA=OE

=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\) 

b/ 

Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)

\(AH\perp BC\)

=> OM//AH 

Xét tg AGH có

IA=IG (gt)

KH=KG (gt)

=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)

=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)

IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)

G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)

=> IG=GM (6)

Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)

c/

Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE

MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE

OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE

=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)

Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)

\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng

d/

Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO

Trọng tâm : điểm giao nhau của 3 đường trung tuyến trong Tam giác 

Trực tâm : giao giữa ba đường cao

Đường trung trực : là đường vuông góc với 1 đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

chắc giờ trả lời là trễ lắm rồi, 2021 cơ mà. Nhưng lỡ thì kệ đi.