a. Quang tự vẽ hình nhé.

Ta thấy \(\frac{AM}{AC}=\frac{AM}{AK}.\frac{AK}{AC}\). Mà theo định lý Ta let : \(\frac{AM}{AK}=\frac{AI}{AB};\frac{AK}{AC}=\frac{AN}{AI}\)

Như vậy thì \(\frac{AM}{AC}=\frac{AI}{AB}.\frac{AN}{AI}=\frac{AN}{AB}\)

Từ đó suy ra \(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\) hay MN // BC.

Bài này ghi các tỉ số hơi rối, cố gắng theo dỏi nha, khi sử dụng định lí Thales, hay phân tách các cạnh tôi ko chỉ ra vì để cho phép biến đổi được liên tục. 
******************************* 
Gọi M là trung điểm BC. có AM/AG = 3/2 
Qua B dựng đường thẳng song song với ED, cắt AC tại K. 
ko giãm tính tổng quát, giã sử K nằm trên đoạn AC. 
<<Nếu ngược lại K nằm trên tia đối của tia CA thì ta chọn ngược lại từ C >> 

Gọi H là trung điểm KC => MH // BK (tính chất đường trung bình) 

Ta có: AB / AD = AK / AE (1) 

mặt khác: 

AC / AE = (AH + HC)/AE = AH / AE + HC / AE = 

= AM / AG + HC / AE = 3/2 + KH / AE (2) 

(1) + (2): 
AB / AD + AC / AE = 3/2 + AK / AE + KH / AE = 3/2 + (AK + KH) / AE = 

= 3/2 + AH / AE = 3/2 + AM / AG = 3/2 + 3/2 = 3

Dấu sao gì mà lắm vậy bạn KODOSHINICHI?

Kéo dài AG cắt BC tại E

Kẻ $BM//A'C', CN//A'C' (M, N \in AE)$

Xét $\Delta ABM$ có $BM//GC' \Longrightarrow \dfrac{BM}{GC'}=\dfrac{AM}{AG}$

$CN//GA' \Longrightarrow \dfrac{CN}{GA'}=\dfrac{EN}{EG}=\dfrac{2EN}{AG}$

$CN//GB \Longrightarrow \dfrac{CN}{GB'}=\dfrac{AN}{AG}$

CM: $\Delta BME=\Delta CNE(g-c-g) \Longrightarrow BM=CN; EN=EM$

$\Longrightarrow \dfrac{CN}{GA'}+\dfrac{CN}{GB'}=\dfrac{2EN}{AG}+ \dfrac{AN}{AG}=\dfrac{2EN+AN}{AG}=\dfrac{AM}{AG}$

$\Longrightarrow \dfrac{CN}{GA'}+\dfrac{CN}{GB'}= \dfrac{BM}{GC'}$

$\Longrightarrow \dfrac{1}{GA'}+\dfrac{1}{GB'}= \dfrac{1}{GC'}$

Mik ko hiểu bạn đag viết cái quái gì nữa!

ai giỏi hình giải giúp mình đi

+) Gọi AP là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC, giao điểm của tia AM và BC là D. Qua M kẻ đường thẳng song song với AP, nó cắt BC tại N.

Xét \(\Delta\)PDA có: M thuộc AD; N thuộc PD; MN // AP => \(\frac{MN}{AP}=\frac{DM}{DA}\Rightarrow\frac{DM}{DA}=\frac{MN}{3.GP}\) (ĐL Thales) (*)

Xét \(\Delta\)GA'P có: M thuộc GA'; N thuộc PA'; MN // GP => \(\frac{MN}{GP}=\frac{MA'}{GA'}\), thế vào (*) được

\(\frac{DM}{DA}=\frac{1}{3}.\frac{MA'}{GA'}\). Chứng minh tương tự: \(\frac{EM}{EB}=\frac{1}{3}.\frac{MB'}{GB'};\frac{FM}{FC}=\frac{1}{3}.\frac{MC'}{GC'}\)

Suy ra \(\frac{1}{3}\left(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}\right)=\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}\)

\(\Rightarrow\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\left(\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}\right)\)(1)

+) Gọi giao điểm của BM và AC là E; CM với AB là F. Qua M kẻ 2 đường thẳng song song với AB và BC, chúng cắt AC lần lượt tại H và K.

Áp dụng ĐL Thales, ta có các tỉ số: 

\(\frac{DM}{DA}=\frac{CK}{AC};\frac{FM}{FC}=\frac{AH}{AC};\frac{EM}{EB}=\frac{EH}{EA}=\frac{EK}{EC}=\frac{EH+EK}{EA+EC}=\frac{HK}{AC}\)

Cộng các tỉ số trên, ta được: \(\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}=\frac{CK+HK+AH}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)(2)

+) Từ (1) và (2) => \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\) (đpcm).