Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nối OA, OB, OC

Khoảng cách từ tâm O đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác OAB, OAC, OBCv

Ta có : S A B C = S O A B + S O A C + S O B C

= (1/2).AB.r + (1/2).AC.r + (1/2).BC.r

= (1/2)(AB + AC + BC).r

Mà AB + AC + BC = 2p

Nên  S A B C = (1/2).2p.r = p.r

gọi I là tâm của đường nội tiếp tam giác ABC : ta có

S_ABC = S_AIB + S_BIC + S_CIA

= \(\dfrac{AB.r}{2}+\dfrac{BC.r}{2}+\dfrac{CA.r}{2}\) = \(\left(\dfrac{AB}{2}+\dfrac{BC}{2}+\dfrac{CA}{2}\right).r\)

= \(\dfrac{chuvitamgiácABC}{2}.r\) = p.r (đpcm)

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Nối OA, OB, OC

Ta có: $S_{ABC}=S_{OAB}+S_{OAC}+S_{OBC}$

                    $=\frac{1}{2}.AB.r+\frac{1}{2}.AC.r+\frac{1}{2}.BC.r$

                     $=\frac{1}{2}(AB+AC+BC).r$

Mà AB + AC + BC = 2p

Nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}.2p.r=p.r$

hết rồi à

Hình như câu b chưa rõ lắm, tam giác ABC cân tại đâu?

đề chỉ ghi tam giác cân thôi bạn

 Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp

\(\Rightarrow S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{CIA}=\frac{1}{2}AB.r+\frac{1}{2}BC.r+\frac{1}{2}CA.r\)

\(=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right).r=p.r\)

\(\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}\)

                                                                BÀI LÀM

a, xét tứ giác ADOE có:

góc A= góc E=góc D=90^O

mà ta thấy: OE=OD( bán kính = nhau)

vậy tứ giác ADOE là hình vuông (dhnb)

a) Dễ thấy tứ giác AEOD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OD = OE ( cùng bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Nên tứ giác AEOD là hình vuông.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống BC.

Có SΔABC=SΔOAB+SΔOBC+SΔOAC
                     =12 OD.AB+12 OE.AC+12 OH.BC
                      =12 r.(AB+AC+BC)
                      =12 pr ($p$ là  chu vi của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp).
 
c) Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: BC=√AB2+AC2=10(cm).
Diện tích tam giác ABC là: 12 AB.AC=12 .6.8=24(cm2).
Chu vi tam giác ABC là: 6+8+10=24(cm).
Suy ra: 24=12 .24.r⇔r=2(cm).

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác AB’HC’ có ∠AB′H+∠AC′H=900+900=1800⇒∠AB′H+∠AC′H=900+900=1800⇒ Tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.

Ta có ∠ABD=900∠ABD=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒AB⊥BD⇒AB⊥BD.

Mà CH⊥AB(gt)⇒BD∥CHCH⊥AB(gt)⇒BD∥CH

Chứng minh tương tự ta có CD∥BHCD∥BH.

⇒⇒ Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song)

Mà BC∩HD=I(gt)⇒IBC∩HD=I(gt)⇒I là trung điểm của BC.

c) Tính AHAA′+BHBB′+CHCC′AHAA′+BHBB′+CHCC′.

Ta có:

SHBCSABC=12HA′.BC12AA′.BC=HA′AA′⇒1−SHBCSABC=1−HA′AA′=AA′−HA′AA′=AHAA′SHBCSABC=12HA′.BC12AA′.BC=HA′AA′⇒1−SHBCSABC=1−HA′AA′=AA′−HA′AA′=AHAA′

Chứng minh tương tự ta có: BHBB′=1−SHACSABC;CHCC′=1−SHABSABCBHBB′=1−SHACSABC;CHCC′=1−SHABSABC

⇒AHAA′+BHBB′+CHCC′=1−SHBCSABC+1−SHACSABC+1−SHABSABC=3−SHBC+SHAC+SHABSABC=3−1=2⇒AHAA′+BHBB′+CHCC′=1−SHBCSABC+1−SHACSABC+1−SHABSABC=3−SHBC+SHAC+SHABSABC=3−1=2

Bài 1 : 

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 50:2=25 (m)

Gọi chiều rộng là x (0<x<12,5)

=> chiều dài là: 25 -x (m)

Diện tích là: x (25-x)

Ta có phương trình: 

\(x\left(25-x\right)=144\)

\(\Rightarrow-x^2+25x=144\)

\(\Rightarrow x^2-25x+144=0\)

\(\Rightarrow x^2-9x-16x+144=0\)

\(\Rightarrow\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=9\\x=16\end{cases}}\)

Vậy chiều rộng là 9m và chiều dài là 25-9=16m