1 + 7 + 7² + 7³ + ... + 7²⁰¹

= ( 1 + 7 ) + ( 7² + 7³ ) + ... + ( 7²⁰⁰ + 7²⁰¹ )

= ( 1 + 7 ) + 7² . ( 1 + 7 ) + ... + 7²⁰⁰ . ( 1 + 7 )

= 8 + 7² . 8 + ... + 7²⁰⁰ . 8

= 8 . ( 1 + 7² + ... + 7²⁰⁰ ) \(⋮\)8 ( đpcm )

Ta có 1+7=8 chia hết cho 8 

Từ 7\(^2\) đến 7\(^{201}\)  có (201-2):1 +1=200

Ta nhốm 4 số (7\(^2\)+7\(^3\)+7\(^4\)+7\(^5\))=19600 \(⋮\)8

Mà 200\(⋮\)4 các nhóm chia hết cho 4

\(\Rightarrow\) biểu thức chia hết cho 8

Bài 1:

\(a,A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2\right)\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)=3\left(2+...+2^{2009}\right)⋮3\\ A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2+2^2\right)\left(2+...+2^{2008}\right)=7\left(2+...+2^{2008}\right)⋮7\)

\(b,\left(\text{sửa lại đề}\right)B=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3\right)\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)=4\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)⋮4\\ B=\left(3+3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2008}+3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3+3^2\right)\left(3+...+3^{2008}\right)=13\left(3+...+3^{2008}\right)⋮13\)

Bài 2:

\(a,\Rightarrow2A=2+2^2+...+2^{2012}\\ \Rightarrow2A-A=2+2^2+...+2^{2012}-1-2-2^2-...-2^{2011}\\ \Rightarrow A=2^{2012}-1>2^{2011}-1=B\\ b,A=\left(2020-1\right)\left(2020+1\right)=2020^2-2020+2020-1=2020^2-1< B\)

Ta có :   7^4 = 2401   ,   7^6 = 117649  ,  7^8 = ...1( có c/ số tận cùng là 1 )  ,   7^10 = ...9(có c/ số tận cùng là 9) ...

Ta thấy : các số mũ của 7 là số chia hết cho 2 thì có tận cùng là 9 

              các số mũ của 7 là số chia hết cho 4 thì có tận cùng là 1

               2014 chia hết cho 2, k chia hết cho 4 

=> 7 ^ 2014 có tận cùng là 9 mà 9 + 1 = 10 => 7^2014 + 1 chia hết cho 10

Ta có: 7⁴ có chữ số tận cùng là 1

=> (7⁴)⁵⁰³ cũng có chữ số tận cùng là 1

hay 7²⁰¹² có chữ số tận cùng là 1

Có 7² có chữ số tận cùng là 9

=> 7²⁰¹⁴+1 có chữ số tận cùng là 10

Vậy 7²⁰¹⁴ +1 chia hết cho 10 

\(TH1;n=3k\)\(\Rightarrow10^n+18n-1=\)\(10^{3k}+18.3k-1=1000^k+54k-1\equiv1+54k-1\left(mod27\right)\equiv0\left(mod27\right)\left(1\right)\)

\(TH2;n=3k+1\Rightarrow10^n+18n-1=10^{3k+1}+18.\left(3k+1\right)-1\)\(=10^{3k}.10+18.\left(3k+1\right)-1=1000^k.10+54k+18-1\)\(\equiv1.10+54k+17\left(mod27\right)\equiv54k+27\left(mod27\right)\equiv0\left(mod27\right)\left(2\right)\)

\(TH3;n=3k+2\Rightarrow10^n+18n-1=10^{3k+2}+54k+36-1\)\(=1000^{3k}.100+54k+35\equiv1.100+54k+35\left(mod27\right)\)\(\equiv54k+135\left(mod27\right)\equiv0\left(mod27\right)\left(3\right)\)\(Từ\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow10^n+18n-1⋮27,\forall n\in N\left(ĐPCM\right)\)

10ⁿ+18n-1=10ⁿ-1+18n=99.....9(n chữ số 9)+18n

=9.(111....1(n chữ số 1)+2n)

xét --------------------------------=11...1-n+3n

dễ thấy tổng các chữ số của 11....1(n chữ số 1) là n

=>11....1-n chia hết cho 3

=>11.....1-n+3 chia hết cho 3

=>10ⁿ+18n-1 chia hết cho 27

Ta có :

E = 6² + 6³ + 6⁴ + ... + 6⁶¹

=> E = ( 6² + 6³ ) + ( 6⁴ + 6⁵ ) + ... + ( 6⁶⁰ + 6⁶¹ )

=> E = ( 6² + 6³ ) + 6² . ( 6² + 6³ ) + ... + 6⁵⁸ . ( 6² + 6³ )

=> E = 252 + 6² . 252 + ... + 6⁵⁸ . 252

=> E = 7 . 36 + 6² . 7 . 36 + ... + 6⁵⁸ . 7 . 36

=> E = 7 . ( 36 + 6² . 36 + ... + 6⁵⁸ . 36 ) ⋮ 7

Ta có :

E = 6² + 6³ + 6⁴ + ... + 6⁶¹ ( có 20 số hạng )

=> E = ( 6² + 6³ + 6⁴ ) + ( 6⁵ + 6⁶ + 6⁷ ) + ... + ( 6⁵⁹ + 6⁶⁰ + 6⁶¹ ) ( có đủ 20 nhóm )

=> E = ( 6² + 6³ + 6⁴ ) + 6³ . ( 6² + 6³ + 6⁴ ) + ... + 6⁵⁷ . ( 6² + 6³ + 6⁴ )

=> E = 1548 + 6³ . 1548 + ... + 6⁵⁷ . 1548

=> E = 36 . 43 + 6³ . 36 . 43 + ... + 6⁵⁷ . 36 . 43

=> E = 43 . ( 36 + 6³ . 36 + ... + 6⁵⁷ . 36 ) ⋮ 43

A = 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4⁶⁰ (có 60 số; 60 chia hết cho 2)

A = (4 + 4²) + (4³ + 4⁴) + ... + (4⁵⁹ + 4⁶⁰)

A = 4.(1 + 4) + 4³.(1 + 4) + ... + 4⁵⁹.(1 + 4)

A = 4.5 + 4³.5 + ... + 4⁵⁹.5

A = 5.(4 + 4³ + ... + 4⁵⁹) chia hết cho 5

cho pn 3 k nè cảm ơn pn

Đề sai nhé ! 

Giả sử thay n = 2 thì 3.2 + 1 = 7 không chia hết cho 3 

Đề phải là tìm số n để 3n + 1 chia hết cho n + 1

Ta có : 3n + 1 chia hết cho n + 1

<=> 3n + 3 + 5 chia hết cho n + 1

<=> 3(n + 1) + 5 chia hết cho n + 1

<=> 5 chia hết cho n + 1

<=> n + 1 thuộc Ư(5) = {1;5}

+ n + 1 = 1 => n = 0

+ n + 1 = 5 => n = 4

3n + 1 \(⋮\)n + 1

= 3( n + 1 ) \(⋮\)n + 1

Vì n + 1 \(⋮\)n + 1 cho nên 3 \(⋮\)n + 1 \(\Rightarrow\)n + 1 \(\in\)Ư(3)

Mà Ư(3) = { 1;-1;3;-3 } \(\Rightarrow\)n + 1 = { 1;-1;3;-3 } \(\Rightarrow\)n \(\in\){ 0;-2;2;-4 }

6x + 11y chia hết cho 31

=> 6x + 11y + 31y chia hết cho 31 vì 31y chia hết cho 31

=> 6x + 42y chia hết cho 31

=> 6(x + 7y) chia hết cho 31

=> x + 7y chia hết cho 31 vì 6 và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau

=> đpcm