1. Hôm 15/03/2016, bạn Thuận phát hiện là trong cách ghi ngày đó thì tổng bốn chữ số đầu và tổng bốn chữ số cuối bằng nhau. Hỏi ngày cuối cùng trong năm nay có cùng tính chất như vậy là ngày nào? (Ghi đáp số theo cách trên) 2. Bạn Dương có một bộ sưu tập gồm 169 đồng xu và muốn tặng bạn bè mỗi người một số đồng xu khác nhau; không có hai bạn nào nhận được số đồng xu bằng nhau. Hỏi nhiều nhất thì bạn Dương có thể tặng được cho bao nhiêu người bạn? 3. Vẽ ba nửa đường tròn cùng tiếp xúc với nhau tại một điểm, các đường kính cùng nằm trên một đường thẳng sao cho tỉ lệ bán kính giữa chúng là 1 : 2 : 4, như hình vẽ. Nếu diện tích của nửa đường tròn lớn nhất là 160 cm2 , hỏi diện tích phần tô đậm bằng bao nhiêu cm2 ? 4. Một lớp có 25 thành viên, khi được hỏi 18 người nói thích bánh pizza và 12 người thích spaghetti. Hỏi nhiều nhất là bao nhiêu người không thích cả hai loại thực phẩm trên? 5. Tính giá trị của  1 + 2 3  ×  1 + 2 4  ×  1 + 2 5  × · · · ×  1 + 2 97 ×  1 + 2 98 . 6. N là một số có năm chữ số, và là bội của 11. Nếu N chỉ có đúng ba loại chữ số khác nhau, thì hỏi N lớn nhất bằng bao nhiêu? 7. Lá cờ Olympic in hình 5 đường tròn, cắt nhau tại 8 điểm. Hỏi nếu ta di chuyển các đường tròn này sao cho không có hai đường tròn nào trùng khít lên nhau thì chúng cắt nhau tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? MYTS Mathematical Young Talent Search 8 6 6 6 6 6 6 8. Vẽ ba đường thẳng thì chúng cắt nhau nhiều nhất tại ba điểm. Vẽ k đường thẳng thì chúng cắt nhau nhiều nhất tại 15 điểm, hỏi k bằng bao nhiêu? 9. Trong một cái túi có 5 quả táo xanh, 8 quả táo vàng, 10 quả lê xanh và 3 quả lê vàng. Bạn Nhi chọn ngẫu nhiên từng quả một trong túi. Hỏi bạn Nhi phải nhặt ra bao nhiêu quả để chắc chắn nhận được ít nhất một quả táo và một quả lê cùng màu? 10. Hình dưới đây có 24 con chim bồ câu, mỗi con đậu ở một ô. Hỏi ít nhất mấy con chim phải nhảy sang ô trống khác (không nhất thiết phải liền cạnh hoặc liền đỉnh) để làm sao mỗi hàng, mỗi cột có số chim bồ câu như nhau? f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 11. N là một số tự nhiên có tất cả các chữ số từ {0, 1, . . . , 9} và không có hai chữ số nào giống nhau. Nếu N chia hết cho 40 thì hỏi N lớn nhất bằng bao nhiêu? MYTS Mathematical Young Talent Search 9 6 6 6 6 6 6 12. Các số nguyên dương lẻ được điền vào bảng sau đây sao cho cứ ba ô thì để cách một ô. A B C D E F G H I J K L M N 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 . . . . . . . . . Hỏi số 579 thuộc cột nào? 13. Bảy hình chữ nhật bằng nhau ghép lại thành một hình chữ nhật to hơn ABCD. Nếu diện tích của hình chữ nhật to ABCD bằng 756 cm2 , tìm chu vi của ABCD. A B D C 14. Số 12, chẳng hạn, có sáu ước số gồm 1, 2, 3, 4, 6, và 12. Nếu N là một số nguyên dương có đúng 16 ước số (kể cả 1 và chính nó), hỏi giá trị nhỏ nhất của N bằng bao nhiêu? 15. Trong túi có ba loại bi: xanh, đỏ và vàng; tổng số là 25 quả. Biết rằng phải lấy ra 21 quả (không nhìn) thì mới chắc chắn có bi đủ ba màu. Hỏi có nhiều nhất là mấy viên bi màu vàng trong túi? 16. Cắt hình sau đây dọc theo các đường kẻ để tạo ra hai hình bằng nhau. Sau đó tính tổng các số được ghi trên mỗi hình. Trong hai tổng đó, hỏi tổng lớn hơn bằng bao nhiêu? 1 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17. Hôm nay là Chủ nhật, sau ba ngày nữa sẽ là Thứ Tư. Biết rằng sau đúng 259 ngày nữa là đến ngày quốc khánh cộng hòa Nam Phi (giành độc lập từ Anh Quốc năm 1931), ngày 11 tháng 12 năm 2016. Hình dưới đây là bản lịch tháng 3, 4 năm 2016. Hỏi hôm đó là thứ mấy? MYTS Mathematical Young Talent Search 10 6 6 6 6 6 6 March 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 April 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 18. Một số tự nhiên N được gọi là hào hiệp nếu nó chia hết cho tất cả các chữ số của nó và chia hết cho tổng các chữ số của nó. Ví dụ, 12 là một số hào hiệp, còn 102 thì không. Hãy tìm số hào hiệp nhỏ nhất chia hết cho 11. 19. Trong một giải đấu cờ vua, mỗi vận động viên đều thi đấu một lần với những vận động viên khác trong giải. Có tất cả là 300 trận đấu. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham gia giải đấu? 20. Một khối hình hộp chữ nhật K được lắp từ 2 × 3 × 4 hình lập phương đơn vị. Tổng diện tích bề mặt của khối hộp K là 52 đơn vị vuông. Nếu ta bỏ một hình lập phương đơn vị khỏi hình K thì diện tích bề mặt hình mới thu được có diện tích nhỏ nhất bằng bao nhiêu? 21. Khi làm đồ thủ công, bạn Vân chuẩn bị một mảnh giấy hình tam giác. Sau đó bạn ấy cắt bỏ hai miếng hình vuông bằng nhau thì thu được một hình sau đây sao cho chu vi của nó là 110 cm. Nếu chu vi của hình tam giác ban đầu là 86 cm, còn diện tích của nó là 282 cm2 , hỏi diện tích của mảnh giấy thu được là bao nhiêu cm2 ? MYTS Mathematical Young Talent Search 11 6 6 6 6 6 6 22. Bốn bạn chơi đùa với nhau, và một bạn chẳng may làm vỡ chiếc bình hoa. Khi được hỏi ai làm vỡ bình, các bạn trả lời lần lượt như sau Lan : Không phải tôi đâu! Vân : Chính bạn Yến làm vỡ! Hằng : Không, chính bạn Vân làm vỡ! Yến : Vân là người nói dối. Chỉ một trong bốn bạn là người nói thật. Hỏi ai làm vỡ bình hoa? 23. Có hai vòi nước cấp vào một bồn tắm, một vòi cấp nước nóng và một vòi cấp nước lạnh. Vòi nước nóng có thể chảy đầy bể trong 23 phút, còn vòi nước lạnh có thể chảy đầy bể trong 17 phút. Nếu bạn mở vòi nước nóng trước, thì hỏi sau đó bao lâu bạn cần mở vòi nước lạnh để khi đầy bể thì lượng nước nóng gấp rưỡi phần nước lạnh? 24. Cho hình thang ABCD với đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Hai đường chéo cắt nhau tại K. Gọi L là trung điểm của BD. Biết rằng diện tích các tam giác ABK, DAL lần lượt là 18 cm2 , và 21 cm2 ; diện tích tam giác tô đậm ALC là x cm2 . Hãy tính giá trị của x. A B D C 18 21 L K 25. Cùng một lúc, Tom xuất phát từ A còn Jerry xuất phát từ B và họ đi về phía nhau. Khi Tom đến B thì Jerry vẫn cách A 480 m. Vận tốc của Jerry chỉ bằng 5 6 vận tốc của Tom. Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B (theo đơn vị m). 26. Chín khối lập phương được gắn với nhau như hình vẽ. Người ta sơn bề mặt của khối tạo thành. Hỏi diện tích bề mặt bằng bao nhiêu cm2 nếu cạnh mỗi khối lập phương là 2 cm. 27. Mỗi cạnh của hình lập phương được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng sao cho mỗi mặt của hình lập phương có đủ các màu. Hỏi có ít nhất bao nhiêu cạnh được tô màu xanh? MYTS Mathematical Young Talent Search 12 6 6 6 6 6 6 28. Dũng vẽ một đường khép kín trên lưới ô vuông 5 × 6. Đường khép kín này gồm 8 đường chéo của hình chữ nhật 1×2. Hỏi có thể vẽ được một đường khép kín gồm nhiều nhất là bao nhiêu đường chéo như vậy sao cho không có hai đường chéo nào cắt nhau, không trở lại một đỉnh đã đi qua? 29. Số 1234 là một số có bốn chữ số sao cho tích các chữ số của nó bằng 24. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số mà tích các chữ số bằng 24? 30. Trên một hành tinh các cư dân (cũng như chúng ta) chia một ngày đêm thành các giờ, chia mỗi giờ thành các phút, chia mỗi phút thành các giây. Biết rằng một ngày đêm ở đây gồm đúng 66 phút, còn mỗi giờ bằng đúng 93 giây. Hỏi trên hành tinh này một ngày đêm gồm bao nhiêu giây?