>

Ta có : \(\dfrac{2005}{2007}=1-\dfrac{2}{2007};\dfrac{2007}{2009}=1-\dfrac{2}{2009}\)

\(Do:\dfrac{2}{2007}>\dfrac{2}{2009}\Rightarrow1-\dfrac{2}{2007}< 1-\dfrac{2}{2009}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2005}{2007}< \dfrac{2007}{2009}\)

2005/2007<2007/2009

Ta có :

\(1-\frac{2007}{2008}=\frac{1}{2008}\)

\(1-\frac{2008}{2009}=\frac{1}{2009}\)

Vì \(\frac{1}{2008}>\frac{1}{2009}\) nên \(\frac{2007}{2008}< \frac{2008}{2009}\)

phần bù đến 1 của 2007/2008 là 1-2007/2008=1/2008

phần bù đến 1 của 2008/2009 là 1-2008/2009=1/2009

Vì 1/2008>1/2009 nên 2007/2008<2008/2009

Áp dụng tính chất : \(\dfrac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+m}{b+m}\) (\(a;b,m\in N\)*)

Ta có :

\(A=\dfrac{100^{2007}+1}{100^{2008}+1}< \dfrac{100^{2007}+1+99}{100^{2008}+1+99}=\dfrac{100^{2007}+100}{100^{2008}+100}=\dfrac{100\left(100^{2006}+1\right)}{100\left(100^{2007}+1\right)}=\dfrac{100^{2006}+1}{100^{2007}+1}=B\)

\(\Rightarrow A< B\)

`(x-2013)/2011+(x-2011)/2009=(x-2009)/2007+(x-2007)/2005`

`<=>(x-2013)/2011+1+(x-2011)/2009+1=(x-2009)/2007+1+(x-2007)/2005+1`

`<=>(x-2)/2011+(x-2)/2009=(x-2)/2007+(x-2)/2005`

`<=>(x-2)(1/2011+1/2009-1/2007-1/2005)=0`

`<=>x-2=0`

`<=>x=2`

PT tương đương khi cả 2 PT có cùng nghiệm

`=>(x^2-(2-m).x-2m)/(x-1)` tương đương nếu nhận `x=2` là nghiệm

Thay `x=2`

`<=>(4-(2-m).2-2m)/(2-1)=0`

`<=>4-4+2m-2m=0`

`<=>0=0` luôn đúng.

Vậy phương trình `(x-2013)/2011+(x-2011)/2009=(x-2009)/2007+(x-2007)/2005` và `(x^2-(2-m).x-2m)/(x-1)` luôn tương đương với nha `forall m`

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x-2013}{2011}+1+\dfrac{x-2011}{2009}+1=\dfrac{x-2009}{2007}+1+\dfrac{x-2007}{2005}+1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2}{2011}+\dfrac{x-2}{2009}-\dfrac{x-2}{2007}-\dfrac{x-2}{2005}=0\)

\(\Leftrightarrow x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

(1) và (2) tương đương khi và chỉ khi (1) và (2) có cùng tập nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm duy nhất x = 2

<=> x² - (2 - m)x - 2m = 0 có nghệm kép x = 2 (3) hoặc x² - (2 - m)x - 2m = 0 có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

Giải (3) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left[-\left(2-m\right)\right]^2+8m=0\\2^2-2\left(2-m\right)-2m=0\end{matrix}\right.\)

<=> m² + 4m + 4 = 0

<=> (m + 2)² = 0

<=> m = -2

Giải (4) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2^2-2\left(2-m\right)-2m=0\\1^2-\left(2-m\right)-2m=0\end{matrix}\right.\)

<=> -m - 1 = 0

<=> m = -1

Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn là -2 và -1

So sánh:

\(\frac{5}{6}=\frac{5\times4}{6\times4}=\frac{20}{24}\)

\(\frac{7}{8}=\frac{7\times3}{8\times3}=\frac{21}{24}\)

Mà \(\frac{20}{24}< \frac{21}{24}\) nên \(\frac{5}{6}< \frac{7}{8}\)

Cộng phân số:

\(\frac{9}{4}+\frac{3}{5}\)

\(=\frac{45}{20}+\frac{12}{20}\)

\(=\frac{57}{20}\)

TL:

\(\dfrac{5}{6}< \dfrac{7}{8}\) 

\(\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{5}\) = \(\dfrac{57}{20}\) 

-HT-

Nguyen