3(x² + xy + y²) = x + 8y

<=> 3x² + (3y - 1)x + (3y² - 8y) = 0

Để phương trình theo nghiệm x có nghiệm thì

∆ = (3y - 1)² - 4.3.(3y² - 8y) \(\ge\)0

<=> - 27y² + 90y + 1 \(\ge\)0

<=> - 0,011 \(\le\)y \(\le\)3,344

Mà vì y nguyên nên

\(\Rightarrow0\le y\le3\)

\(\Rightarrow\)y = (0, 1, 2, 3)

\(\Rightarrow\)x = (...)

Cặp nào nguyên thì nhận. Không nguyên thì loại

Câu 1)

Thử \(x=1,2,3,4,5\) ta thấy chỉ \(x=1\) thỏa mãn \(y=1\)

Với \(x\geq 6\)

Để ý rằng \(1!+2!+3!+...+x!=3+3!+4!+...+x!\) luôn chia hết cho $3$. Do đó \(y^3\vdots 3\rightarrow y\vdots 3\rightarrow y^3\vdots 27\)

Với \(x\geq 6\) thì \(x!\) luôn chia hết cho $27$. Do đó để \(y^3\vdots 27\) thì \(1!+2!+...+5!\) cũng phải chia hết cho $27$ hay $153$ chia hết cho $27$. Điều này vô lý.

Do đó phương trình chỉ có bộ nghiệm \((x,y)=(1,1)\) thỏa mãn.

Bài 2)

Ta thấy \(3(x^2+y^2+xy)=x+8y\geq 0\) nên chắc chắn tồn tại ít nhất một số nguyên không âm.

TH1: \(x\geq 0\)

\(\text{PT}\Leftrightarrow 3y^2+y(3x-8)+3x^2-x=0\)

Để PT có nghiệm thì \(\Delta=(3x-8)^2-12(3x^2-x)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -27x^2-36x+64\geq 0\)

Giải HPT trên ta suy ra \(x\leq 1\). Do đó \(x=0\) hoặc $1$

Nếu \(x=0\Rightarrow y=0\)

Nếu \(x=1\rightarrow y=1\)

TH2: \(x<0\) thì \(y> 0\)

\(\text{PT}\Leftrightarrow 3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y=0\)

Để PT có nghiệm thì \(\Delta =(3y-1)^2-12(3y^2-8y)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -27y^2+90y+1\geq 0\rightarrow y\leq 3\rightarrow y=1,2,3\)

Nếu \(y=1\rightarrow x=1\)

Nếu \(y=2,3\) không có $x$ thỏa mãn.

Vậy \((x,y)=(0,0),(1,1)\)

Với có ít nhất x,y = 1 thì VT > VP

Với x > 1, y > 1 thì

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^2}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}< 1\)

Hay VT < 1

Vậy PT không có nghiệm nguyên dương

3/ \(P=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab=2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+2\left(\frac{16}{ab}+ab\right)+\frac{2}{ab}\ge\)

\(\ge\frac{2.4}{\left(a+b\right)^2}+4\sqrt{\frac{16}{ab}.ab}+\frac{2.4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{8}{4^2}+4\sqrt{16}+\frac{8}{4^2}=17\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 2

Vậy Min P = 17 <=> a = b = 2

\(a\orbr{x=\frac{\pm\sqrt{5}-3}{4}}\)

\(b\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)

2)\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2y\right)+\left(y^3-xy^2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)=5\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=5\)

TH1\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x^2-y^2=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\left(N\right)}}\)

TH2\(\hept{\begin{cases}x-y=5\\x^2-y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{ }x,y\in\varnothing}\)

TH3\(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x^2-y^2=-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\left(N\right)}}\)

TH4\(\hept{\begin{cases}x-y=-5\\x^2-y^2=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{ }x,y\in\varnothing}\)

Vậy......

=> 5x² + 5xy + 5y² = 7x + 14y

=> 5x² + 5xy - 7x + 5y² - 14y = 0 

=> 5x² + (5y -7).x + (5y²  - 14y) = 0   (*)

Tính \(\Delta\) = (5y - 7)² - 4.5.(5y²  - 14y) = -75y² + 210y + 49  

Để x nguyên thì \(\Delta\) là số chính phương <=> -75y² + 210y + 49  = k² ( với k nguyên)

=> - 3. (25y² - 2.5y.7 + 49) + 196 = k²

=> -3.(5y - 7)² + 196 = k²

=> 3.(5y - 7)² + k² = 196 => 3. (5y-7)²  \(\le\) 196 => (5y - 7)²  \(\le\) 66 =>-8  \(\le\)  5y - 7 \(\le\) 8

=> -1/5  \(\le\) y \(\le\) 3

y nguyên nên y có thể bằng 0; 1;2;3

Với tưng giá trị của y ta thay vào (*) => x 

Các giá trị x; y nguyên tìm được là các giá trị thỏa mãn yêu cầu

đặt x+y=a

xy=b

ntc a-2

chụp cho tớ 20 bài bđt đi chi