Gọi đọ dài 2 cạnh góc vuông là a và b => Độ dài cạnh huyền là \(\sqrt{a^2+b^2}\)

Gọi đường cao là h.

=> Chu vi tam giác là: \(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\)

Diện tích tam giác là: \(\frac{1}{2}.\sqrt{a^2+b^2}.h\)

Theo bài ra ta có: \(a+b+\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}.\sqrt{a^2+b^2}.h\)

=> \(h=\frac{2a+2b+2\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}=2+2.\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Theo BĐT Bunhiacopxki có: \(\left(1.a+1.b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

<=> \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

=> \(h\le2+2.\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{\sqrt{a^2+b^2}}=2+2\sqrt{2}\)

=> Giá trị lớn nhất của chiều cao thỏa mãn đk là: \(h_{max}=2+2\sqrt{2}\)

 Ta có 
AM -AH =BC/2 - AH =7 
=> BC -2AH =14 
=> 2AH = BC-14 (1*) 

Mặt khác: 
AB+BC+CA= 72 
=> AB+CA = 72-BC 
=> (AB+AC)^2 = (72-BC)^2 

=> AB^2 + CA^2 + 2BC.AH = 72^2 - 144BC + BC^2 (do AB.AC = BC.AH) 

=> 2BC.AH = 5184 - 144BC (2*) 

Thay (1*) vào (2*) 

=> BC(BC-14) = 5184 - 144BC 
=> BC^2 + 130BC - 5184 =0 
=> sqrt(delta) =194 
=> BC = (-130 + 194)/2 = 32 
=> AH = (BC-14)/2 = 9 
=> S(ABC) =BC.AH/2 = 144 cm^2

Gọi a;b là độ dài 2 cạnh góc vuông. Do tam giác vuông; ta có: 

Độ dài cạnh huyền = √(a²+b²) 

Độ dài đường cao = ab/√(a²+b²) 


Do đó chu vi = a+b+√(a²+b²) = 72 (1) 


Hiển nhiên trung tuyến phải dài hơn đường cao nên ta có: 

1/2.√(a²+b²) -ab/√(a²+b²) = 7 

<=> (a²+b²) -2ab = 14√(a²+b²) (2) 


Kết hợp (1) và (2) ta được: 

a²+b² -2ab = 14.(72-a-b) 

<=> a²+b² +14a +14b -1008 = 2ab 

<=> (a+b)² +14(a+b) -1008 = 4ab (3) 


Từ (1) ta có: 

√(a²+b²) = 72-a-b 

<=> a²+b² = a²+b²+5184 -144a-144b +2ab 

<=> 144(a+b) = 2ab +5184 

<=> a+b = ab/72 +36 (4) 


Thay (4) vào (3) ta được: 

(ab/72 +36)² +14.(ab/72 +36) -1008 = 4ab 

<=> (ab +2592)² + 14.72.(ab+2592) -1008.72² = 4.72²ab 

<=> (ab)² +5184(ab) +2592² +1008(ab) -4.72²(ab) +14.72.2592 -1008.72² =0 

<=> (ab)² -14544(ab) +4105728 =0 

<=> (ab -14256)(ab -288) =0 


Thử lại: 

Nếu: ab = 14256 thì a+b = 14256/72 +36 = 234 

Giải pt: X² -234X +14256 =0 

Ta thấy: Δ' = 117²-14256 = -567 <0 nên pt vô nghiệm 


Nếu: ab = 288 thì a+b = 288/72 +36 = 40 

Giải pt: X² -40X² +288 =0 

Ta được: X1 = 20 -4√7 ; X2 = 20 +4√7 

Đây là độ dài 2 cạnh góc vuông. Từ đây tính được cạnh huyền và đường cao thấy thỏa gt. 


Kết luận: Tam giác đã cho có diện tích là 144 (=ab/2)

Gọi AO = x ; AB =c ; AC =b ; BC =a

=> BC =2x =a => AH = x -7

Áp dung HTL AH.BC =AB.AC => b.c =2x( x -7)

Mặt khác a+b+c =72 => b+c =72 -a =>( b+c)² =(72-a)² => b² +c² +2bc =(72-a)²  với b² +c² = a² 

=> (2x)² +2.2x(x-7) = (72-2x)² =>4x² +4x² -28x = 72² - 4.72x +4x²

=> 4x² +260x - 72² =0 => x² + 65x - 1296 =0

=> x = 16 (TM)

=>BC =2x =32

AH =x -7 =16 -7 =9

S = AH.BC =32.9/2 =16.9 =144

Tính cạnh huyền được BC = 5

ĐS. BH = 1,8; CH = 3,2; AH=2,4.

Tính cạnh huyền được BC = 5

ĐS. BH = 1,8; CH = 3,2; AH=2,4.

Xét t/g ABC vuông tại A,theo định lý py-ta-go, tao có:

BC²=AB² + AC²

=) BC = 5

Xét t/g ABC vuông tại A có AH vuông góc BC, theo định lý 1,tao có:

AB² = BH.BC

=)BH = 1,8

Mà BC = BH + HC

=) HC = 3,2

Theo định lý 2,tao có :

AH² = BH.HC

=)AH= 2,4