b)   \(69^2-69.5\)
= 69 . 69 -69 . 5
= 69 . (69 - 5)
=69 . 64
Vì 64 \(⋮\)32 nên 69 . 64 hay \(69^2\)- 69.5 \(⋮\)32

Vì tui dùng app giải

Bài này khá dễ, bạn hãy theo dõi bài giải của mình nhé! ^^

Ta có : 

220 đồng dư với 118 (mod 102) => 220^11969 đồng dư với 118 (mod 102)

119 đồng dư với 17 (mod 102) => 119^69220 đồng dư với 17 (mod 102)

69 đồng dư với 69 (mod 102) => 69^220119 đồng dư với 69 (mod 102)

=> 220^11969 + 119^69220 + 69^220119 đồng dư với (118 + 17 + 69) (mod 102)

=> 220^11069 + 119^69220 + 69^220119 chia hết cho 102 

ko khó đâu bn - chỉ cần giả 1 cách đơn giản như sau : 

220 = 0 ( mod2) \(\Rightarrow220^{11969}=0\)(mod2)

119 = 1 ( mod2) \(\Rightarrow119^{69220}=1\) ( mod2)

69 = -1 *(mod2) \(\Rightarrow69^{220119}=-1\)(mod2)

\(\Rightarrow A=0\)(mod2) hay A \(⋮\)2

Tương tự ta thấy : A \(⋮\)3 và A\(⋮\)17

Vì 2 .3 . 17 = 102

\(\Rightarrow\) A \(⋮\) 102 ( đpcm,)

\(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}\)

   \(=\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}\right)\)

   \(=\left(1+2+4+8\right)+...+2^{96}.\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

   \(=15+...+2^{96}.15\)

   \(=15.\left(1+...+2^{96}\right)⋮15\)

\(\Rightarrow\) \(S⋮15\)

a) Gọi tổng đó là A \(A = 1/1.2 + 1/2.3 +......+ 1/99.100 \)
A = 1/1.2 + 1/2.3 +......+ 1/99.100

A = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +.......+1/99 - 1/100

A = 1 - 1/100

A = 99/100 < 1

=> A < 1 (đpcm)

Gọi tổng trên là B

B = 1/2²  + 1/3²  +.......+ 1/100²

B = 1/2.2 + 1/3.3 + .......+ 1/100.100

B < 1/1.2 + 1/2.3 +......+ 1/99.100 B < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +.......+ 1/99 - 1/100 B < 1 - 1/100 

B < 99/100 < 1

=> B < 1 (đpcm) 

chắc đúng không vậy bạn