LẤY I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC, O LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC

XÉT TAM GIÁC MAN VÀ TAM GIÁC IOF CÓ

OI = AB/2=AE/2=AM

OF=AN ( CÚNG LÀ ĐƯƠNG CAO CỦA TAM GIÁC ĐỀU)

GÓC FOI = GÓC MAN = 90 + GÓC A

=> TAM GIÁC MAN = TAM GIACC IOF ( C.G.C)

=> FI = DM

=> GÓC OFI = GÓC MNA

=> GÓC MND = GÓC ANC - GÓC MNA - GÓC DNC

                     = 90 - GÓC OFI - GÓC IFC

                    = 90 - 30 = 60

LẠI CÓ FI = ND/2

           FI = MD

=> MD = ND/2

MÀ GÓC MND = 60

-> TAM GIÁC MND LÀ NỬ TAM GIÁC ĐỀU

=> DM VUÔNG GÓC DN

Hà Minh Hiếu Good !  

Trên nửa mặt phẳng bờ là NF, dựng tam giác đều NFG. Nối G với A và H.

Ta có: ^CFN + ^AFN = 60⁰; ^AFG + ^AFN = 60⁰ => ^CFN = ^AFG.

Xét \(\Delta\)NFC và \(\Delta\)GFA có: FC=FA;  ^CFN=^AFG; FN=FG => \(\Delta\)NFC = \(\Delta\)GFA (c.g.c)

=> CN=AG (2 cạnh tương ứng) . Mà CN=BN nên BN=AG.

Lại có: \(\Delta\)ABE là tam giác đều với trực tâm H => ^ABH=30⁰

=> ^HBN = ^ABC + ^ABH = ^ABC +30⁰ (1)

^HAG = 360⁰ - (^FAG + ^FAC + ^BAC + ^HAB) (*)

Do \(\Delta\)NFC=\(\Delta\)GFA => ^FAG = ^FCN (2 góc tương ứng) => ^FAG = ^ACB +60⁰

Dễ thấy: \(\Delta\)ACF đều => ^FAC = 60⁰;   \(\Delta\)ABE đều, trực tâm H => ^HAB = ^ABH = 30⁰

Thay hết vào (*), ta được: ^HAG = 360⁰ - (^ACB + 60⁰ + 60⁰ + ^BAC + 30⁰)

=> ^HAG = 210⁰ - (^BAC + ^ACB) = 180⁰ - (^BAC + ^ACB) +30⁰ = ^ABC + 30⁰

=> ^HAG = ^ABC + 30⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^HBN = ^HAG. 

Xét \(\Delta\)BHN và \(\Delta\)AHG có: BH=AH (Dễ c/m); ^HBN = ^HAG; BN=AG (cmt)

=> \(\Delta\)BHN=\(\Delta\)AHG (c.g.c) => HN=HG (2 cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta\)HNF và \(\Delta\)HGF: GN=HG; FN=FG; HF chung => \(\Delta\)HNF=\(\Delta\)HGF (c.c.c)

=> ^HFG = ^HFN = ^GFN/2 = 60⁰/2 = 30⁰; ^NHF = ^GHF

\(\Delta\)BHN=\(\Delta\)AHG => ^BHN = ^AHG . Mà ^BHN + ^NHA = ^BHA = 120⁰

=> ^AHG + ^NHA = ^NHG = 120⁰ => ^NHF = ^GHF = ^NHG/2 = 60⁰

Vậy \(\Delta\)FNH có: ^HFN = 30⁰; ^NHF = 60⁰ =>  ^FNH = 90⁰.

Còn 1 cách khác ở trong sách Nâng cao phát triển Toán 7 - T2 nhé!

Mình nghĩ thêm cách này để bạn tham khảo ^-^

Cho cái link này không bít có đúng không:

https://cunghoctot.vn/forum/topic/1003161

Chia ra 3 trường hợp .....

a) AE//MC,ME//AC=>AEMC là hình bình hành 
=>ME=AC 
CM tương tự có ADMB là hình bình hành=>AB=MD 
gọi P,Q lần lượt là giao của ABvới ME và AC với MD 
Có AP//MQ,AQ//MP=>APMQ là hình bình hành=>góc BAC=góc DME 
Chứng minh được tam giác ABC=tam giác MDE(c.g.c) 
b)AEMC,ADMB là hình bình hành=>AM cắt CE tại trung điểm của mỗi đường,AM cắt BD tại trung điểm của mỗi đường 
=>AM,BD,CE đồng quy(đpcm) 
Bài 1: 
a)Có góc EAC=90 độ+góc BAC=góc FAB 
tam giác EAC=tam giác BAF do EA=AB(tam giác AEB vuông cân tại A) 
AF=AC(tam giác AFC vuông cân tại A),góc EAB=góc BAF 
=>EC=BF(đpcm) 
b)Trên tia đối tia MA,lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN 
=>AM=AN/2 
Có M là trung điểm của BC=>ABNC là hình bình hành 
=>NC=AB=AE,BN=AC=AF,góc BAC+góc ACN=180 độ(AB//NC) 
Mà góc EAF+góc BAC=180 độ 
=>góc EAF=góc ACN 
tam giác EAF=tam giác NCA(do EA=NC,AF=CA,góc EAF=góc NCA) 
=>góc NAC=góc EFA và AN=EF 
Mà AM=AN/2=>AM=EF/2 
Gọi H là giao của AM và EF 
Có góc NAC+góc HAF=90.Mà góc NAC=góc EFA 
=>góc HAF+góc HFA=90 độ=>góc AHF =90 độ 
=>AM vuông góc với EF tại H