a/

Ta có

\(AB\perp OA\)

\(AD\perp OD\) (Trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

=> B và D cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông => B và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AO tâm I là trung điểm của AO

=> ABOM là tứ giác nội tiếp

b/ Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ABD\) có

\(\widehat{BAD}\) chung (1)

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADB}\) (2)

Từ (1) và (2) => tg ABC đồng dạng với tg ABD

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB^2=AC.AD\left(đpcm\right)\)

c/ Xét (I) có

\(\widehat{AEO}=90^o\Rightarrow AE\perp OE\)

Mà E là giao của (I) với (O) => \(E\in\left(O\right)\) => OE là bán kính của (O)

=> AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d/

Xét tg vuông AOB và tg vuông AOE có

AB=AE (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1điểm)

OB=OE=R

=> tg AOB = tg AOE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOE}\)

Xét tg vuông AOB có

\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AOB}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BOE}=\widehat{AOB}+\widehat{AOE}=120^o\)

\(\Rightarrow S_{OBE}=\dfrac{\pi R^2.\widehat{BOE}}{360^o}=\dfrac{\pi R^2}{3}\)