Ta có: \(\frac{a}{m}< \frac{b}{m}\)

Mà m>0 => a<b

Do đó: \(\frac{2a}{2m}< \frac{a+b}{2m}< \frac{2b}{2m}\)

hay \(\frac{a}{m}< \frac{a+b}{2m}< \frac{b}{m}\)

Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :

\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)

Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .

a ) Đề không rõ , bạn xem lại nha

b) 

Giả sử \(\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b+m\right)}{b\left(b+m\right)}>\frac{b\left(a+m\right)}{b\left(b+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow ab+am>ab+bm\)

\(\Leftrightarrow am>bm\Leftrightarrow a>b\)

Vậy.............

a, a<b =>\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+m}{b+m}\)

a)ta có:\(\frac{a}{b}=\frac{a.\left(b+m\right)}{b.\left(b+m\right)}=\frac{ab+am}{b^2+bm}\)

\(\frac{a+m}{b+m}=\frac{\left(a+m\right)b}{\left(b+m\right)b}=\frac{ab+bm}{bm+b^2}\)

vì a<b =>am<bm=>ab+am<ab+bm

hay\(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)

b)tương tự như phần a

a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)

<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)

<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)

<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)

Mk làm như thê snayf mà ko bít đúng ko? các bn cho ý kiến nha!
TA có:
a < b => a + a < a + b < b + b
Hay 2.a <a+b<2b

Vậy: a/m < a+b/2m < b/m
 

ta có

a,\(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\Leftrightarrow a+m< b+m\)

vì \(a+m< b+m\)

nên \(\frac{a+m}{b+m}< 1\)

b,Ta có    \(a+b>1\Leftrightarrow a+m>b+m\)

Vì \(a+m>b+m\)

nên \(\frac{a+m}{b+m}>1\)

\(\frac{a}{b}>1\Rightarrow a>b>m\)

Ta có:

\(\frac{a-m}{b-m}=\frac{ab-bm}{\left(b-m\right).b}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{ab-am}{\left(b-m\right).b}\)

\(am>bm\left(a>b\right)\)

\(\Rightarrow ab-bm>ab-am\)

\(\Rightarrow\frac{a-m}{b-m}>\frac{a}{b}\left(1\right)\)

\(\frac{a+m}{b+m}=\frac{ab+bm}{\left(b+m\right).b}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{ab+am}{\left(b+m\right).b}\)

\(bm< am\left(b< a\right)\)

\(\Rightarrow ab+bm< ab+am\)

\(\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}< \frac{a}{b}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{a-m}{b-m}>\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

+ Do a/b > 1

=> a > b

=> a.m > b.m

=> a.b - a.m < a.b - b.m

=> a.(b - m) < b.(a - m)

=> a/b < a-m/b-m (1)

Do a/b > 1

=> a > b

=> a.m > b.m

=> a.m + a.b > b.m + a.b

=> a.(b + m) > b.(a + m)

=> a/b > a+m/b+m (2)

Từ (1) và (2) => a-m/b-m > a/b > a+m/b+m

Ủng hộ mk nha ☆_☆^_-