1/ Tổng của 2 số là 135, ƯCLN của chúng là 27. Tìm 2 số đó, biết 2 số đó là 2 số tự nhiên.

2/ Có nhiều cặp số tự nhiên mà tổng của chúng bằng 252 và ƯCLN của chúng bằng 36. Tìm cặp số tự nhiên có tích lớn nhất.

3/ Chứng minh rằng abcabc chia hết cho 7, 11, 13.

4/ Chứng minh rằng:

a) Tổng hoặc hiệu của hai số chẵn là một số chẵn.

b) Tổng hoặc hiệu của hai số lẻ là một số chẵn.

c) Tổng hoặc hiệu của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.

d) Tích của hai hay nhiều số chẵn là một số chẵn.

e) Tích của hai hay nhiều số lẻ là một số lẻ.

f) Tích của nhiều số tự nhiên là một số chẵn nếu tích có một thừa số chẵn.

Bài toán 1 : Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p ta có thể tìm được một số được viết bởi hai chữ số chia hết cho p.
Bài toán 2 : Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên không chia hết cho 2 và 5 thì tồn tại bội của nó có dạng : 111...1.
Bài toán 3 : Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận cùng là 0001.
Bài toán 4 : Chứng minh rằng nếu các số nguyên m và n nguyên tố cùng nhau thì tìm được số tự nhiên k sao cho mk - 1 chia hết cho n

Dùng nguyên lí Dirichle để giải các bài tập sau:

1) Viết 20 số tự nhiên vào 20 tấm bìa. CMR: Ta có thể chọn 1 hay nhiều tấm bìa để tổng các số đó chia hết cho 20

2) CMR: tồn tại 1 số tự nhiên chia hết cho 17

a) Gồm toàn chữ số 1 và chữ số 0

b) Gồm toàn chữ số 1

3) CMR: Tồn tại số tự nhiên k để 3^k có 3 chữ số tận cùng là 001

4) CHo 51 số tự nhiên khác 0 và không vượt quá 100. CMR:

a) Mỗi số đều viết được 2^k.b(k;b thuộc N, b lẻ, k có thể = 0). Xác định khoảng giá trị của k và b

b) Tồn tại 2 số mà số này là bội của số kia

1 

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 1+2+2^ +... + 2^2n-1 là số nguyên tố. b) Chứng minh rằng tồn tại 2023 số tự nhiên liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số. Nêu nhận định tổng quát và chứng minh nhận định đó. Câu 2.

a) Chứng tỏ rằng S=1+3+3^2 +...+3^2022  không là số chính phương.

b) Tìm số chính phương n mà tổng các chữ số của n bằng 2024.