- Theo giả thiết:

ta có:

- Vậy ta có:

- Lại có:

Chọn B.

Phương pháp:

Ta xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD chính là điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.

Dựa vào tính chất tam giác cân, hai tam giác bằng nhau, tỉ số lượng giác để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau từ đó tìm được tâm mặt cầu.

Cách giải:

Các tam giác đều ABC và BCD có cạnh 2

⇒ B D = D C = B C = A B = A C = 2  

Nên tam giác CAD cân tại C và  tam giác BAD cân tại B.

Từ (1) và (2) suy ra tam giác CHB vuông cân tại H có cạnh huyền CB = 2.

a/

Ta có

M là trọng tâm tg ABC \(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{1}{2}\)

N là trọng tâm tg ACD \(\Rightarrow\dfrac{NK}{NA}=\dfrac{1}{2}\)

Xét tg AIK có

\(\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{NK}{NA}=\dfrac{1}{2}\) => MN//IK (Talet đảo trong tam giác)

Ta có

\(I\in BC;BC\in\left(BCD\right)\Rightarrow I\in\left(BCD\right)\)

\(K\in CD;CD\in\left(BCD\right)\Rightarrow K\in\left(BCD\right)\)

\(\Rightarrow IK\in\left(BCD\right)\) Mà MN//IK (cmt) => MN//(BCD)

Các trường hợp khác c/m tương tự

b/

Trong (ABC) từ M dưng đường thẳng // BC cắt AB; AC tại X và Y

Trong (ACD) nối YN cắt AD tại Z

Xét tg ABC có

\(\dfrac{XB}{XA}=\dfrac{YC}{YA}=\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{1}{2}\) (Talet trong tam giác)

XY//BC; \(BC\in\left(BCD\right)\) => XY//(BCD)

Xét tg ACK có

\(\dfrac{YC}{YA}=\dfrac{NK}{NA}=\dfrac{1}{2}\) => YN//CK => YZ//CD

mà \(CD\in\left(BCD\right)\) => YZ//(BCD)

=> (XYZ)//(BCD)

Ta có MP//(BCD); MN//(BCD) => (MNP)//(BCD)

mà \(M\in\left(MNP\right);M\in\left(XYZ\right)\)

\(\Rightarrow\left(MNP\right)\equiv\left(XYZ\right)\) (Từ 1 điểm ngoài 1 mặt phẳng cho trước chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua điểm đã cho và // với mặt phẳng cho trước)

=> (XYZ) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi (MNP)

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy.

Cách giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có: 

=> góc giữa (ABCD) và (P) là góc giữa SC và SO hay SCO.

Hình vuông ABCD cạnh 2a nên 

Tam giác SOC vuông tại O nên

Chọn: A 

- Theo giả thiết:

Ta có:

- Theo giả thiết:

Ta có:

- Lại có:

Gọi K là trung điểm CD \(\Rightarrow CD\perp\left(SIK\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ISK}\) là góc giữa SI và (SCD)

\(SI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(IK=a\)

\(SK=\sqrt{SI^2+IK^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(sin\widehat{ISK}=\dfrac{IK}{SK}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)