❓

a) Do E đối xứng với D qua A nên AD = AE.

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC; AD //BC.

Xét tứ giác AEBC có AE//BC; AE = BC nên nó là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) 

Do F đối xứng với D qua C nên DC = CF.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = DC; AB // DC.

Xét tứ giác ABFC có AB//CF; AB = CF nên nó là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Do ABFC là hình bình hành nên AC // BF.

Do AEBC là hình bình hành nên AC // BE.

Theo tiên đề Oclit suy ra E, B, F thẳng hàng.

Do ABFC là hình bình hành nên \(\widehat{BAC}=\widehat{BFD}\) (Hai góc đối)

Hay \(\widehat{BAC}=\widehat{EFD}\)

c) Ta đã có E, B, F thẳng hàng.

Lại có EB = AC; BF = AC nên EB = BF.

Vậy E và F đối xứng nhau qua B.

d) Để E và F đối xứng nhau qua đường thẳng BD thì \(BD\perp EF\)

Lại có EF // AC nên \(BD\perp AC\)

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc thì nó trở thành hình thoi.

Vậy hình bình hành ABCD trở thành hình thoi thì E và F đối xứng nhau qua BD.

:v

a) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

F là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MF//AB và \(MF=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E\(\in\)AB và \(AE=\dfrac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)

nên MF//AE và MF=AE

Xét tứ giác AEMF có 

MF//AE(cmt)

MF=AE(cmt)

Do đó: AEMF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Hình bình hành AEMF trở thành hình chữ nhật khi \(\widehat{BAC}=90^0\)

c) Xét tứ giác AMCK có 

F là trung điểm của đường chéo AC

F là trung điểm của đường chéo MK

Do đó: AMCK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Theo giả thiết ta có:

+ A là trung điểm của DE thì AD = AE       ( 1 )

+ C là trung điểm của DF thì CD = CF       ( 2 )

Ta có ABCD là hình bình hành nên AD//BC

⇒ AE//BC       ( 3 ) và AD = BC       ( 4 )

Từ ( 1 ), ( 4 ) ⇒ AE = BC       ( 5 )

Từ ( 3 ) và ( 5 ), tứ giác ACBE có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Áp dụng tính chất và định nghĩa về hình bình hành ACBE ta được 

Chứng minh tương tự, tứ giác ACBF là hình bình hành

Ta được:

Từ ( 6 ), ( 7 ) ⇒ E, B, F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

a, Vì N là trung điểm BD và AC nên ABCD là hbh

Vì M là trung điểm CE và AB nên AEBC là hbh

b, Vì ABCD và AEBC là hbh nên \(\left\{{}\begin{matrix}AE//BC;AE=BC\\AD//BC;AD=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow AE\equiv AD;AE=AD\)

Vậy E đx D qua A