1.nhan xet

voi a thuoc Z

\(\left[\sqrt{a^2}\right]=\left[\sqrt{a^2+1}\right]=...=\left[\sqrt{a^2+2a}\right]\)

do do\(\left[\sqrt{a^2}\right]+\left[\sqrt{a^2+1}\right]+...+\left[\sqrt{a^2+2a}\right]=\frac{2a\left(2a+1\right)}{2}=a\left(2a+1\right)\)

thay a=1 cho den 10 

tu tinh ra 825

đặt \(a=5+2\sqrt{6}\).ta sẽ chứng minh với dạng tổng quát \(\left[a^n\right]\)là 1 số tự nhiên lẻ.

ta có: \(a^n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n=x+y\sqrt{6}\)(x,y là các số tự nhiên) (*)

đặt \(b=5-2\sqrt{6}\Rightarrow b^n=x-y\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow a^n+b^n=2x\)

mà \(0< b=5-2\sqrt{6}< 1\)

\(\Rightarrow0< b^n< 1\)

\(\Rightarrow2x-1< a^n=2x-b^n< 2x\)

nên \(\left[a^n\right]=2x-1\)lẻ vì x nguyên.

p/s:(*) : thử \(\left(5+2\sqrt{6}\right)^2,\left(5+2\sqrt{6}\right)^3\)đều có dạng \(A+B\sqrt{6}\)

thank nhìu nha :P

Ta có \(\left[\dfrac{34x+19}{11}\right]=\left[\dfrac{33x+11}{11}+\dfrac{x+8}{11}\right]=\left[x+1+\dfrac{x+8}{11}\right]\)

Nếu \(x< -19\) thì \(\left[\dfrac{34x+19}{11}\right]< 2x+1\) , vô lí.

Nếu \(-19\le x< -8\) thì \(-1\le\dfrac{x+8}{11}< 0\) nên \(\left[x+1+\dfrac{x+8}{11}\right]=x\), suy ra \(x=2x+1\) \(\Rightarrow x=-1\), loại.

Nếu \(-8\le x< 3\) thì \(0\le\dfrac{x+8}{11}< 1\) nên \(\left[x+1+\dfrac{x+8}{11}\right]=x+1\), suy ra \(x+1=2x+1\Leftrightarrow x=0\) (thỏa mãn)

Nếu \(x\ge3\) thì \(\dfrac{34x+19}{11}>2x+2\) hay \(\left[\dfrac{34x+19}{11}\right]\ge2x+2>2x+1\), vô lí.

Vậy \(x=0\)

Ta có:

\(P=\left(2+\sqrt{2}\right)^7+\left(2-\sqrt{2}\right)^7\)

\(P=2^7+7.2^6\sqrt{2}+21.2^5\left(\sqrt{2}\right)^2+...+7.2\left(\sqrt{2}\right)^6+\left(\sqrt{2}\right)^7\)\(+2^7-7.2^6\sqrt{2}+21.2^5\left(\sqrt{2}\right)^2-...+7.2\left(\sqrt{2}\right)^6-\left(\sqrt{2}\right)^7\)

\(P=2.2^7+2.21.2^5.\left(\sqrt{2}\right)^2+2.35.2^3.\left(\sqrt{2}\right)^4+2.7.2.\left(\sqrt{2}\right)^6\)

\(P=2^8+21.2^7+35.2^6+7.2^5\)

\(P=5408\)

\(\Rightarrow\left(2+\sqrt{2}\right)^7=5408-\left(2-\sqrt{2}\right)^7\)

Do \(0< \left(2-\sqrt{2}\right)^7< 1\) nên suy ra \(5047< \left(2+\sqrt{2}\right)^7< 5048\)

Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá \(\left(2+\sqrt{2}\right)^7\) là 5047.

(Sau này ta kí hiệu như thế này cho gọn.)