Ta có hình vẽ:

a/ Xét tam giác OAC và tam giác OBD có:

OA = OB (GT)

góc AOC = góc BOD (đối đỉnh)

OC = OD (GT)

=> tam giác OAC = tam giác OBD (c.g.c)

=> AC = BD (2 cạnh tương ứng)

Ta có: tam giác OAC = tam giác OBD (đã chứng minh trên)

=> góc CAO = góc OBD (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> AC // BD (đpcm)

b/ Xét tam giác OAD và tam giác OBC có:

OA = OB (GT)

góc AOD = góc BOC (đối đỉnh)

OC = OD (GT)

=> tam giác OAD = tam giác OBC (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)

Ta có: tam giác OAD = tam giác OBC (đã chứng minh trên)

=> góc DAO = góc CBO (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> AD // BC 9đpcm)

c/ Ta có: COM = DON (đối đỉnh)

Ta có: góc AOD + góc AOM + góc COM = 180⁰

=> góc AOD + góc AOM + góc DON = 180⁰

hay góc MON = 180⁰

hay M,O,N thẳng hàng

a) Xét ΔCAO và ΔDBO có:

OA=OB (gt)

\(\widehat{COA}=\widehat{DOB}\) (đối đỉnh)

OC=OD (gt)

=> ΔCAO=ΔDBO (c.g.c)

=> AC=BD (hai cạnh tương ứng)

Vì ΔCAO=ΔDBO

=> \(\widehat{OAC}=\widehat{OBD}\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên

=> AC//BD. (đpcm)

b) Xét ΔAOD và ΔBOC có:

OA=OB (gt)

\(\widehat{AOD}=\widehat{BOC}\) (đối đỉnh)

OD=OC (gt)

=> ΔAOD=ΔBOC (c.g.c)

=> AD=BC (hai cạnh tương ứng)

Vì ΔAOD=ΔBOC

=> \(\widehat{OAD}=\widehat{OBC}\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên

=> AD//BC (đpcm)

c) Ta có: \(\widehat{AOM}=\widehat{NOB}\) (đối đỉnh)

Mà ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{MOC}+\widehat{COB}=180^o\)

=> \(\widehat{MOC}+\widehat{COB}+\widehat{BON}=\widehat{MON}=180^o\)

Vậy ba điểm M,O,N thẳng hàng

a) ta có O là trung điểm của AC \(\Rightarrow OC=OA\)

O là trung điểm của BD\(\Rightarrow OB=OD\)

Xét \(\Delta AODvà\Delta COBcó\)

\(OD=OB\) (chứng minh trên )

\(\widehat{AOD}=\widehat{COB}\) (2 góc đối đỉnh)

\(OA=OC\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta AOD=\Delta COB\left(c-g-c\right)\)

vậy \(\Delta AOD=\Delta COB\)

b)   ta có \(\Delta AOD=\Delta COB\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow\widehat{ADO}=\widehat{CBO}\) hay \(\widehat{ADB}=\widehat{CBD}\) mà 2 góc lày là 2 góc so le trong 

\(\Rightarrow AD//BC\)

vậy \(AD//BC\)

c) ta có \(\Delta AOD=\Delta COB\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow AD=BC\)

mà \(AE=DE\) (vì E là trung điểm của AD )

\(BF=CF\)(vì F là trung điểm của AD )

\(\Rightarrow AE=DE=BF=CF\)

Xét \(\Delta AOEvà\Delta COFcó\)

\(EA=CF\) (chứng minh trên)

\(\widehat{OAE}=\widehat{OCF}\) (vì \(\Delta AOD=\Delta COB\))

\(OA=OC\) (chứng minh câu a)

\(\Rightarrow\Delta AOE=\Delta COF\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow OF=OE\)

\(\Rightarrow\)​​​ E là trung điểm của EF

vậy E là trung điểm của EF

\(\Delta AOD=\Delta COB\)\(\Delta AOD=\Delta COB\)

a) Vì 2 đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn (gt).

=> \(O\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OB\\OC=OD\end{matrix}\right.\) (tính chất trung điểm).

Xét 2 \(\Delta\) \(OAC\) và \(OBD\) có:

\(OA=OB\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(OC=OD\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta OAC=\Delta OBD\left(c-g-c\right)\)

=> \(AC=BD\) (2 cạnh tương ứng).

=> \(\widehat{OAC}=\widehat{OBD}\) (2 góc tương ứng).

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(AC\) // \(BD.\)

b) Xét 2 \(\Delta\) \(OAD\) và \(OBC\) có:

\(OA=OB\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AOD}=\widehat{BOC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(OD=OC\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta OAD=\Delta OBC\left(c-g-c\right)\)

=> \(AD=BC\) (2 cạnh tương ứng).

=> \(\widehat{OAD}=\widehat{OBC}\) (2 góc tương ứng).

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(AD\) // \(BC.\)

c) Ta có: \(\widehat{COM}=\widehat{DON}\) (vì 2 góc đối đỉnh).

Mà \(\widehat{AOD}+\widehat{AOM}+\widehat{COM}=180^0\left(gt\right)\)

=> \(\widehat{AOD}+\widehat{AOM}+\widehat{DON}=180^0\)

=> \(\widehat{MON}=180^0.\)

=> 3 điểm \(M,O,N\) thẳng hàng (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

Xét \(\Delta\)AOD & \(\Delta\)COB có:

OA=OC(vì O là trung điểm AC)

góc AOD= góc COB(2 góc đối đỉnh)

OD=OB(vì O là trung điểm BD)

=>\(\Delta\)AOD=\(\Delta\)COB(c.g.c)

=>AD=CB(2 cạnh tương ứng)(1)

Vì N là trung điểm của AD

=>AN=ND=AD/2(2)

Vì M là trung điểm BC

=>MB=MC=BC/2(3)

Từ (1);(2);(3)=>AN=MC

Xét \(\Delta\)NOA & \(\Delta\)MOC có:

AN=MC(theo c/m trên)

ON=OM(vì O là trung điểm MN)

OA=ỌC(vì O là trung điểm AC)

=>\(\Delta\)NOA=\(\Delta\)MOC(c.c.c)

=>góc NOA= góc MOV(2 góc tương ứng)

Ta có: góc =180 độ

=>góc NOA+ góc NOC= 180 độ(2 góc kề bù)

=>góc MOC+góc NỚC=180 độ

=>góc NOM=180 độ

=>N,O,M thẳng hàng