Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có:

\(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{3a+3b+3c+3d}{a+b+c+d}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=k\)

Th1: 3(a + b + c + d) = 0 Mà a + b  + c + d khác 0 => Loại

Vậy k = 3 

=(a+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c)/(a+b+c+d)=3.(a+b+c+d)/a+b+c+d=3

=> k=3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}\)

\(=\frac{b+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{3a+3b+3c+3d}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)

\(=3\)

Vậy k = 3

Vậy k = 3

Chúc bạn hok tốt !

Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số đã cho ta được:

\(\frac{b+c+d}{a}\) +1 = \(\frac{c+d+a}{b}\) +1 = \(\frac{d+a+b}{c}\) +1= \(\frac{a+b+c}{d}\) +1

\(\frac{a+b+c+d}{a}\) = \(\frac{a+b+c+d}{b}\) = \(\frac{a+b+c+d}{c}\) = \(\frac{a+b+c+d}{d}\) 

Vì a+b+c+d khác 0 nên a=b=c=d

Suy ra k= \(\frac{3a}{a}\) = 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(k=\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

\(k=3\)

Từ \(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

=>k=3

Vậy k=3

Giải: Ta có : 

\(\frac{a+b+c-2011d}{d}=\frac{b+c+d-2011a}{a}=\frac{c+d+a-2011b}{b}=\frac{d+a+b-2011c}{c}\)

=> \(\frac{a+b+c}{d}-2011=\frac{b+c+d}{a}-2011=\frac{c+d+a}{b}-2011=\frac{d+a+b}{c}-2011\)

=> \(\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}\)

=> \(\frac{a+b+c}{d}+1=\frac{b+c+d}{a}+1=\frac{c+d+a}{b}+1=\frac{d+a+b}{c}+1\)

=> \(\frac{a+b+c+d}{d}=\frac{b+c+d+a}{a}=\frac{c+d+a+b}{b}=\frac{d+a+b+c}{c}\)

TH1: a + b + c + d = 0

=> a + b = -(c + d)

    b + c = -(a + d)

 khi đó, ta có : S = \(\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}+\frac{-\left(a+d\right)}{a+d}+\frac{c+d}{-\left(c+d\right)}+\frac{d+a}{-\left(a+d\right)}\)

                          = \(-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)

                          = -4

TH2 : a + b + c + d \(\ne\)0

=> a = b = c = d

khi đó, ta có : S = \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{b+a}+\frac{d+a}{b+c}\)

                          =   1 + 1 + 1 + 1 

                         = 4