Ap dụng hằng đẳng thức.

\(A=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{b^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{a+b}{a-c}+\frac{b+c}{c-a}=\frac{a+b}{a-c}-\frac{b+c}{a-c}=1\left(đpcm\right)\)

Với các bài yêu cầu như thế này, em chỉ cần biến đổi, rút gọn biểu thức để giá trị cuối cùng là một hằng số.

a) Câu này có vấn đề.

Cô đặt f(0) = (x-2)² + 6(x+1)(x-3) - (x-2)(x² - 2x - 4) = -22

           f(1) = -28 \(\ne f\left(0\right)\)

Vậy rõ ràng giá trị biểu thức phụ thuộc biến. Em xem lại đề nhé.

b) \(\frac{a}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{-a\left(b-c\right)-b\left(c-a\right)-c\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{-ab+ac-bc+ab-ca+bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=0\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 1:

Nếu biểu thức A như bạn viết, thì sau khi rút gọn, $A=54x+270$ là biểu thức có giá trị phụ thuộc vào biến.

Sửa đề:

\(A=(x+3)^3-(x+9)(x^2+27)\)

\(=(x+3)(x+3)(x+3)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=(x^2+6x+9)(x+3)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=(x^3+3x^2+6x^2+18x+9x+27)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=(x^3+9x^2+27x+27)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=27-81=-216\) là biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào biến $x $ (đpcm)

\(B=(x+y)(x^2-xy+y^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x^3-9)\)

\(=(x^3+y^3)+(x^3-y^3)-2(x^3-9)\) (hằng đẳng thức đáng nhớ)

\(=2x^3-2(x^3-9)=18\) là biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào biến $x$ (đpcm)

Bài 2:

Sửa đề: Cho \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2\)

CMR: \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Bạn lưu ý viết đề bài chính xác hơn.

-----------------------------

Ta có: \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2ax.by+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2=2ay.bx\)

\(\Leftrightarrow (ay)^2-2ay.bx+(bx)^2=0\)

\(\Leftrightarrow (ay-bx)^2=0\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Ta có đpcm.