Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). D là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA.

a) Chứng minh H, I, K thẳng hàng  ( Câu a không cần làm nhé)

b) Chứng minh \(\frac{BC}{DH}=\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\)

c) Tìm vị trí của D trên cung BC để IK có  giá trị lớn nhất

d) Tìm vị trí của D trên cung BC để \(\frac{BC}{DH}+\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\) có  giá trị nhỏ nhất

e)/ Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB, AC. G là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh P, G, Q thẳng hàng

Cho tam giác nhọn ABC có AB<AC và trực tâm là T. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC; I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC; E và F lần lượt là trung điểm của AC và IH

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp và tam giác ACD và IHD đồng dạng

b) Chứng minh I,H,K thẳng hàng và DÈ là tam giác vuông

c) Chứng minh \(\frac{BC}{DH}=\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\)

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội  tiếp đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AD của đường tròn(O)

a) CM tứ giác ABHM,AHNC nội tiếp

b) CM tam giác HMN đồng dạng tam giác ABC

c) Chứng minh HM vuông góc với AC

d) Gọi I là tủng điểm của BC. CM I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN

Bài 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, Cl à trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN

a) CM tứ giác BCHK nội tiếp

b) Chứng minh tam giác MBN đều

c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ MB sao cho KM+KN+KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $AM$ không là đường kính ($M$ không trùng $B,C$). Gọi $I,H,K$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ trên các đường thẳng $BC,AB,AC$. Chứng minh ba điểm $H,I,K$ thẳng hàng.

Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. D là giao điểm của AH và BC.

a) Chứng minh : AD vuông góc BC
b) Chứng minh EFDO là tứ giác nội tiếp
c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF. Tính số đo góc BLC
d) Gọi R, S lần lượt là hình chiếu của B,C lên EF. Chứng minh DE + DF = RS và AH.AD=AE.AC