A) delta=(4m-2)^2-4×4m^2

=16m^2-8m+4-16m^2

=-8m+4

để pt có hai nghiệm pb thì -8m+4>0

Hay m<1/2

B để ptvn thì -8m+4<0

hay m>1/2

a)

Thế m = 1 vào PT được: \(x^2+2\left(1+1\right)x-2.1^4+1^2=0\)

<=> \(x^2+4x-1=0\)

\(\Delta=16+4=20\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2+\sqrt{5}\\x_2=-2-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

b) đề đúng chưa=)

a: Khi m=1/2 thì \(x^2-2x-\dfrac{1}{4}-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-\dfrac{17}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-8x-17=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2\right)^2=21\)

hay \(x\in\left\{\dfrac{\sqrt{21}+2}{2};\dfrac{-\sqrt{21}+2}{2}\right\}\)

b: \(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(-m^2-4\right)\)

\(=4+4m^2+16=4m^2+20>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

a: \(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2-8m+5\)

\(=\left(4m^2-8m+4\right)+5=4\left(m-1\right)^2+5>0\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m-1<0

hay m<1

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.

+) Cho pt: 2x² + mx + m - 3 = 0. Chứng minh rằng pt có 2 nghiệm phân biệt

Ta có: \(a=2;b=m;c=m-3.\)
\(\text{Δ}=b^2-4ac=m^2-4.2.\left(m-3\right)=m^2-8m+24-\left(m-4\right)^2+8\)

=> đpcm

+) Cho pt: x² - 2(2m-1)x + 3m² - 4 = 0. Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m;  Tìm m để x_1² + x_2² - x₁x₂ = 5 (*)

Ta có: \(a=1;b'=-\left(2m-1\right);c=3m^2-4\)

\(\text{Δ′}=-\left(2m-1\right)^2-1.\left(3m^2-4\right)=4m^2-4m+1-3m^2+4=m^2-4m+5=\left(m-2\right)^2+1\)

=> Pt có nghiệm với mọi m

ta lại có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-1\left(1\right)\\x_1x_2=\frac{c}{a}=3m^2-4\left(2\right)\end{cases}}\)

(*)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=5\)

    thay (1) và (2) vào (*) ta có: 

\(\left(2m-1\right)^2-3\left(3m^2-4\right)=5\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1-9m^2+12=5\)

\(\Leftrightarrow5m^2+4m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=\frac{-2+2\sqrt{11}}{2}\\m=\frac{-2-2\sqrt{11}}{2}\end{cases}\)

Vậy \(m=\frac{-2+2\sqrt{11}}{2}\)hoặc \(m=\frac{-2-2\sqrt{11}}{2}\)thoả mãn x_1² + x_2² - x₁x₂ = 5

(Câu này mình nghĩ là tìm m để  x_1² + x_2² + x₁x₂ = 5 thì đúng hơn, nếu đúng thì bạn bình luận để mình làm nhé!)

Học tốt nhé!

a. thay m =1 vào pt ta có :

x^2 - x -2 = 0 

\(\Delta\)= b^2 - 4ac = (-1)^2 -4.1.(-2) = 9 

=> x1 = \(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{2.1}=-1\) và

x2 = \(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{2.1}=2\)

b. Ta có : \(\Delta=b^2-4ac=\left(-m\right)^2-4.2\left(m-2\right)\)=\(m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\ge0\forall m\)

=> pt luôn có nghiệm với mọi m 

c. theo hệ thức vi ét và kết hợp với giả thiết ta có hệ sau 

x1+x2 = \(\frac{-b}{a}\)= m (1)

x1.x2 = \(\frac{c}{a}\)= 2(m-2) (2)

2x1 + 3 x2 = 5 (3)

từ (1) và (3) => x=3m -5 và x2 = 5-2m . Thay vào pt (2) ta đc:

(3m - 5)(5-2m) = 2(m-2) 

cái này pt bậc 2 cơ bản bạn tự giải nốt ra kết quả của m nhé !!!

Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(1\right)=-2< 0\)

\(f\left(2\right)=13>0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1;2)

\(f\left(-2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2;1)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1+m^2\right)\left(x-1\right)^3+x^2-2\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(1\right)=-1< 0\)

\(f\left(2\right)=1+m^2+4-2=m^2+3>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) với mọi m

Hay pt luôn có ít nhất 1 nghiệm dương với mọi m