1.nhan xet

voi a thuoc Z

\(\left[\sqrt{a^2}\right]=\left[\sqrt{a^2+1}\right]=...=\left[\sqrt{a^2+2a}\right]\)

do do\(\left[\sqrt{a^2}\right]+\left[\sqrt{a^2+1}\right]+...+\left[\sqrt{a^2+2a}\right]=\frac{2a\left(2a+1\right)}{2}=a\left(2a+1\right)\)

thay a=1 cho den 10 

tu tinh ra 825

-1/7 . 7/3 ; -4 ; -43/10

=-7/3 ; -4 ; -43/10

nhớ tính lại từ đây nha=-7/3 ; -4/1 ; -43/10

= -7/3 . -1/4 ; -43 /10

= 8/12; -43/10

=8/12 . -10/43

= -80/516

Ta có:

\(P=\left(2+\sqrt{2}\right)^7+\left(2-\sqrt{2}\right)^7\)

\(P=2^7+7.2^6\sqrt{2}+21.2^5\left(\sqrt{2}\right)^2+...+7.2\left(\sqrt{2}\right)^6+\left(\sqrt{2}\right)^7\)\(+2^7-7.2^6\sqrt{2}+21.2^5\left(\sqrt{2}\right)^2-...+7.2\left(\sqrt{2}\right)^6-\left(\sqrt{2}\right)^7\)

\(P=2.2^7+2.21.2^5.\left(\sqrt{2}\right)^2+2.35.2^3.\left(\sqrt{2}\right)^4+2.7.2.\left(\sqrt{2}\right)^6\)

\(P=2^8+21.2^7+35.2^6+7.2^5\)

\(P=5408\)

\(\Rightarrow\left(2+\sqrt{2}\right)^7=5408-\left(2-\sqrt{2}\right)^7\)

Do \(0< \left(2-\sqrt{2}\right)^7< 1\) nên suy ra \(5047< \left(2+\sqrt{2}\right)^7< 5048\)

Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá \(\left(2+\sqrt{2}\right)^7\) là 5047.

(Sau này ta kí hiệu như thế này cho gọn.)

\(\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x-3}}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}=P\)

Để P nguyên thì \(2⋮\sqrt{x}-3\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1,\pm2\right\}\)

\(\begin{matrix}\sqrt{x}-3&-1&-2&1&2\\\sqrt{x}&-2\left(L\right)&1&4&5\\x&&1\left(tm\right)&16\left(tm\right)&25\left(tm\right)\end{matrix}\) 

Mà x nguyên lớn nhất \(\Rightarrow x=25\)

Để P là số nguyên thì

căn x-3-2 chia hết cho căn x-3

=>căn x-3 thuộc Ư(-2)

mà x nguyên lớn nhất

nên căn x-3=2

=>x=25

\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\) =\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{20-12\sqrt{5}+9}}}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\left|2\sqrt{5}-3\right|}}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\left|\sqrt{5}-1\right|}\)=\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}\)=\(\sqrt{1}\)=1( là số nguyên )

=> Số đã cho nguyên