a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

b: Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{OBI}=\widehat{OBA}=90^0\)

\(\widehat{HBI}+\widehat{OIB}=90^0\)(ΔHBI vuông tại H)

mà \(\widehat{OBI}=\widehat{OIB}\)

nên \(\widehat{ABI}=\widehat{HBI}=\widehat{CBI}\)

=>BI là phân giác của góc ABC

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

Xét ΔBAC có

AH,BI là các đường phân giác

AH cắt BI tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔBAC

a, Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), chúng ta có thể sử dụng định lí thứ ba của đường tròn và định lí Euclid về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp. 

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn, \(O\) là tâm của đường tròn, \(A\) là điểm nằm ngoài đường tròn, \(B\) và \(C\) là các điểm tiếp tuyến từ \(A\) đến đường tròn. \(H\) là giao điểm giữa \(OA\) và \(BC\).

Theo định lí thứ ba của đường tròn, ta có \(OH\) là đoạn trung bình của \(OA\) trong tam giác \(OAB\). Điều này có nghĩa là \(OH\) là trung bình hòa của các phần bằng nhau \(OA\) và \(OB\).

\(OA = OB = R\) (bán kính của đường tròn).

\(OH = \frac{OA + OB}{2} = \frac{2R}{2} = R\).

Vậy, \(OH = R\).

Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), ta có \(OH \times OA = R \times R = R^2\).

Nhưng theo định nghĩa, \(R\) là bán kính của đường tròn, nên \(R^2\) chính là \(\pi^2\) (bán kính mũ hai). Vì vậy, \(OH \times OA = \pi^2\).

b, Để chứng minh \(I\) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), chúng ta có thể sử dụng các định lí về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(OA\) với đường tròn. Khi đó, theo định lí về tiếp tuyến ngoại tiếp, \(OA\) vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và \(OA\) vuông góc với \(AC\) tại \(C\).

Vì OA là đường trung trực của BC (do H là giao điểm giữa OA và BC, nên OH cũng là đường trung trực của BC.)

Nếu I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, thì OI cũng là đường trung trực của BC

Do đó, OHvà OI là cùng một đường trung trực của BC, nên OH = OI.

Vậy, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
=>ΔABC cân tại A

b: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC

c: Xét ΔOBA vuông tại B có \(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2+3^2=5^2\)

=>\(BA^2=25-9=16\)

=>\(BA=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔBOA vuông tại B có BI là đường cao

nên \(BI\cdot OA=BO\cdot BA\)

=>\(BI\cdot5=3\cdot4=12\)

=>BI=12/5=2,4(cm)

d: Ta có: ΔABI vuông tại I

=>\(IB^2+AI^2=AB^2\)

=>\(IB^2=AB^2-AI^2\left(3\right)\)

Ta có: ΔOIC vuông tại I

=>\(OC^2=OI^2+CI^2\)

=>\(CI^2=OC^2-OI^2\left(4\right)\)

I là trung điểm của BC

=>IB=IC(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(AB^2-AI^2=OC^2-OI^2\)

=>\(AB^2-OC^2=AI^2-OI^2\)

Giải thích các bước giải:

a/ Chứng minh: OA vuông góc MN.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có $AM=AN\Rightarrow A$ thuộc trung trực của MN.

Lại có $OM=ON=R\Rightarrow O$ thuộc trung trực của MN

$\Rightarrow OA$ là trung trực của MN.

$\Rightarrow OA\perp MN$ (1).

b/ Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng: MC//AO.

Xét tam giác MNC có: $MO=OC=ON=R\Rightarrow MC=\frac{1}{2}NC$

$\Rightarrow \Delta MNC$ vuông tại M (Định lí đường trung tuyến)

$\Rightarrow MN\perp MC$ (2).

Từ (1) và (2) => MC // AO.

c/ Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3 cm, OA = 5 cm.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:

$\begin{array}{c}A{M}^2=O{A}^2-O{M}^2\\ A{M}^2=5^2-3^2=16\\ AM=4\left(cm\right)=AN\end{array}$

Gọi H là giao điểm của MN và OA.

$\Rightarrow MN\perp AO$ tại H.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, đường cao MH có:

$\begin{array}{c}O{M}^2=OH.OA\\ \Rightarrow 3^2=OH.5\\ \Rightarrow OH=\frac{9}{5}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=OA-OH=\frac{16}{5}\end{array}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow M{H}^2=OH.AH=\frac{9}{5}.\frac{16}{5}\\ \Rightarrow MH=\frac{12}{5}\left(cm\right)\end{array}$

OA là trung trực của MN (cmt) $\Rightarrow H$ là trung điểm của MN

$\Rightarrow MN=2MH=\frac{24}{5}\left(cm\right)$.

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

.

⇒ IM là phân giác góc ^NMA.

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

cậu làm được câu này chưa ạ giải cho tớ với:<

$AB=AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $AO$ là phân giác cũng là đường cao

$\Rightarrow AO\perp BC$

b) $\Delta BCD$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $CD$

$\Rightarrow BCD\perp B\Rightarrow BD\perp BC$

$\Rightarrow AO\parallel BD$ (vì cùng $\perp BC$)

c) Gọi $AO\cap BC=H$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta ABO$ có:

$A{B}^2=A{O}^2-O{B}^2=4^2-2^2=12$

$\Rightarrow AB=2\sqrt{3}=AC$

Hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABO$

$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{B{O}^2}=\frac{1}{12}+\frac{1}{2^2}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow BH=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2BH=2\sqrt{3}$.

Có thể soai ai bt dc

Tự giải đi em